Question

(MACK) se sec x=4 , com 0 < x< pi/2 , quanto vale tg 2x?

Answer 1

$\sec x=4;\;\;\;\;\;0<x<\frac{\pi}{2}$


$\bullet\;\;$ Primeiro, vamos encontrar a tangente de $x,$ utlilizando a dentidade trigonométrica a seguir:

$1+\mathrm{tg^{2}\,}x=\sec^{2} x\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=\sec^{2} x-1\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=4^{2}-1\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=16-1\\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}x=15\\ \\ \mathrm{tg\,}x=\pm \sqrt{15}$


Como $x$ é um arco do primeiro quadrante, a sua tangente é positiva. Logo,

$\mathrm{tg\,}x=\sqrt{15}$


$\bullet\;\;$ Aplicando a identidade da tangente do arco duplo, temos

$\mathrm{tg\,}2x=\dfrac{2\mathrm{\,tg\,}x}{1-\mathrm{tg^{2}\,}x}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=\dfrac{2\cdot \sqrt{15}}{1-(\sqrt{15})^{2}}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=\dfrac{2\sqrt{15}}{1-15}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=\dfrac{2\sqrt{15}}{-14}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=-\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\sqrt{15}}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 7} \\ \\ \\ \mathrm{tg\,}2x=-\dfrac{\sqrt{15}}{7}$