Question

(MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:
a) 83
b) 84
c) 85
d) 168
e) 169

Answer 1

Queremos formar polígonos múltiplos de 3 com os 9 pontos.

Os polígonos passíveis são: 3, 6 e 9.

Então, temos que calcular a combinação deles e depois somá-los.

POLÍGONOS DE 3 VÉRTICES

$C_{9}^{3} = \frac{9!}{3!(9 - 3)!} C_{9}^{3} = \frac{9!}{3!6!}C_{9}^{3} = \frac{9.8.7.6!}{3!6!}C_{9}^{3} = \frac{9.8.7}{3.2}C_{9}^{3} = \frac{504}{6}C_{9}^{3} = 84$

POLÍGONOS DE 6 VÉRTICES

$C_{9}^{6} = \frac{9!}{6!(9 - 6)!} C_{9}^{6} = \frac{9!}{6!3!}C_{9}^{6} = \frac{9.8.7.6!}{6!3!}C_{9}^{6} = \frac{9.8.7}{3!}C_{9}^{6} = \frac{504}{6}C_{9}^{6} = 84$

POLÍGONOS DE 9 VÉRTICES

Só podemos formar 1 polígono de nove vértices.

Agora, somamos.

84 + 84 + 1 = 169

Alternativa E.