Question

(M120979H6) Durante uma aula, um professor propôs a seguinte atividade dinâmica: entre todas as pessoas presentes em um auditório, inicialmente sentadas, uma deveria se levantar e tocar em outras duas pessoas para que se levantassem também. Em seguida, cada uma dessas pessoas tocaria em outras duas para que se levantassem e, assim, sucessivamente, até que todos ficassem de pé. Esse professor queria mostrar uma conclusão matemática a respeito do número de pessoas em pé.

O que ele pode dizer sobre o número de pessoas em pé durante essa dinâmica?
(A)Cresce de maneira exponencial.
(B)Cresce de maneira linear.
(C)Decresce de maneira exponencial.
(D)Permanece constante.
(E)Oscilou de dois em dois.

Answer 1

O número de pessoas em pé durante essa dinâmica A) Cresce de maneira exponencial.

No início (n = 0), uma pessoa se levanta. No segundo momento (n = 1), essa pessoa toca duas pessoas para que estas se levantem, totalizando 3 pessoas em pé. No terceiro momento (n = 2), as duas pessoas que foram tocadas tocam em outras duas cada, totalizando 7 pessoas em pé e assim por diante.

Pode-se modelar esse crescimento utilizando a seguinte função:

f(n) = 2ⁿ⁺¹ - 1

Está é uma função exponencial crescente.

Resposta: A

Answer 2

O número de pessoas em pé durante essa dinâmica cresce de maneira exponencial.

Vamos representar o número total de pessoas em pé pela função P(x), onde x é a contagem do número de vezes em que a dinâmica de se levantar acontece.

Na primeira vez, apenas uma pessoa fica de pé:

P(1) = 1

Na segunda vez, a pessoa que estava de pé toca em duas pessoas que ficam de pé, totalizando um número de 3 pessoas:

P(2) = 3

Na terceira vez, as 3 pessoas de pé tocam 6 pessoas, totalizando um número 9 pessoas de pé:

P(3) = 9

Na quarta vez, as 9 pessoas de pé tocam 18 pessoas, totalizando 27:

P(4) = 27

Na quinta vez, as 27 pessoas tocam 54 pessoas:

P(5) = 81

...

Percebe-se que a função está crescendo exponencialmente e que essa função corresponde a:

$P(x)=3^{n-1}$

Você pode aprender mais sobre funções aqui:

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