Question

(M110577H6) Observe o binômio apresentado abaixo.

(x+5)6

Qual é o coeficiente do 3° termo do desenvolvimento desse binômio?

75.
125.
375.
2 500.
9 375.

Answer 1

Resposta: C

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

O terceiro termo do desenvolvimento binomial é 375x^8. Letra c).

Temos  o binômio:

$(x + 5)^6$

Como a questão nos pede apenas o 3º termo do desenvolvimento, podemos aplicar diretamente a fórmula para um termo geral:

$T_{p + 1} = \binom{n}{p}*a^{(n + p)}*b^p$

Onde n é a ordem do binômio e p representa o termo desejado (vale ressaltar que começamos a contar p de 0, ou seja, para p = 0 teremos o 1º termo do desenvolvimento).

No nosso caso, o binômio x + 5 está elevado a 6, logo n = 6. Além disso, queremos encontra o 3º termo desse desenvolvimento, ou seja, p = 3 - 1 = 2. Substituindo esses valores na expressão anterior:

$T_{2 + 1} = \binom{6}{2}*x^{(6 + 2)}*5^2 = \frac{6!}{2!(6 - 2)!}*x^8*5^2\\T_3 = \frac{6*5*4!}{2!*4!} *x^8*5^2 = \frac{6*5}{2}*x^8*5^2\\\\T_3 = 15*x^8*5^2 = 15*5^2*x^8 = 375x^8$

Muito importante relembrar que o termo $\binom{n}{p}$ equivale a uma combinação de n termos tomados p a p, ou seja:

$\binom{n}{p}= C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n - p)!}$

E ainda que, no nosso caso, substituímos a = x e b = 5,que são os termos do nosso binômio original.

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