Question

(M1100866) Observe abaixo uma sequência de figuras construidas a partir de determinado padrão
geométrico.
A expressão algébrica que determina a quantidade de triângulos na cor cinza que compõem cada figura
em função da posição n que essa figura ocupa nessa sequência é
A) 6-1)
B) 5n - 4.
C) 4n-3.
D) 4n? - 7n + 4.
E) 2n-n.​

Answer 1

Resposta:

A alternativa correta é a letra E.

Explicação passo-a-passo:

• Na figura 1 temos 1 triângulo preenchido e nenhum em branco.
• Na figura 2 temos 9 triângulos dos quais 6 estão preenchidos e 3 estão em branco.
• Na figura 3 temos 25 triângulos dos quais 15 estão preenchidos e 10 estão em branco.
• Na figura 4 temos 49 triângulos dos quais 28 estão preenchidos e 21 estão em branco.

Resumindo:

$\begin{array}{cccc}&Total&Preenchidos&Brancos\\Figura\;1&1&1&0\\Figura\;2&9&6&3\\Figura\;3&25&15&10\\Figura\;4&49&28&21\end{array}$

Temos então que, para cada figura, o número de preenchidos é igual ao número total menos o número de brancos, ou seja,

$\begin{array}{cc}Figura\;1&1-0\\Figura\;2&9-3\\Figura\;3&25-10\\Figura\;4&49-21\end{array}$

Ou, reescrevendo de outra forma:

$\begin{array}{cc}Figura\;1&1^2-1\;.\;0\\Figura\;2&3^2-3\;.\;1\\Figura\;3&5^2-5\;.\;2\\Figura\;4&7^2-7\;.\;3\end{array}$

Os números 1, 3, 5 e 7 são iguais ao dobro do número da figura menos 1

$1=2\;.\;1-1\\3=2\;.\;2-1\\5=2\;.\;3-1\\7=2\;.\;4-1$

Os números 0, 1, 2 e 3 são iguais ao número da figura menos 1

$0=1-1\\1=2-1\\2=3-1\\3=4-1$

Chamando o número da figura de n, a relação entre esse número e a quantidade de triângulos preenchidos é dada por

$(2n-1)^2-(2n-1)\;.\;(n-1)\\\\(4n^2-2\;.\;2n\;.\;1+1^2)-(2n\;.\;n+(2n\;.\;-1)-(1\;.\;n)-(1\;.\;-1))\\\\(4n^2-4n+1)-(2n^2-2n-n+1)\\\\(4n^2-4n+1)-(2n^2-3n+1)\\\\4n^2-4n+1-2n^2+3n-1\\\\4n^2-2n^2-4n+3n+1-1\\\\\boxed{2n^2-n} \quad \rightarrow \quad \mathbf{letra\;E}$