Question

M(1,2), N(5,-2) e P(3,-4) são os pontos medios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, do triangulo ABC. Ache as coordenadas dos vértices desse triangulo.

Answer 1

Ao ligarmos M, N e P aos vértices opostos, obtemos as medianas deste triângulo. As medianas se cruzam em um ponto comum, o BARICENTRO, cujas coordenadas representam a média aritmética das coordenadas dos vértices. Porém, o mesmo baricentro é obtido quando consideramos o triângulo MNP.

Calculando o baricentro (G) a partir do triângulo MNP:

xG = (1 + 5 + 3)/3 = 9/3 = 3
yG = (2 - 2 - 4)/3 = - 4/3

Logo o baricentro é G (3, - 4/3).

O baricentro situa-se no terço proximal aos pontos médios quando consideramos as distâncias entre os pontos médios e os vértices opostos. Observando a posição relativa entre G e os pontos médios, podemos somar o dobro desta distância ao ponto G e encontrar os respectivos vértices A, B e C.

- Analisando M e G para obtenção de C:

M (1, 2) e G (3, - 4/3): G está à direita e abaixo de M, logo o vértice C estará mais à direita e mais abaixo ainda.
A distância entre as abcissas é |3 - 1| = 2
A distância entre as ordenadas é |- 4/3 - 2| = 10/3

xC será igual a xG MAIS o dobro da distância entre xM e xG:
xC = 3 + 2.2 = 7

yC será igual a yG MENOS o dobro da distância entre yM e yG:
yC = - 4/3 - 2.10/3 = - 24/3 = - 8

- Analisando N e G para obtenção de A:

N (5, - 2) e G (3, - 4/3): G está à esquerda e acima de N, logo o vértice A estará mais à esquerda e mais acima ainda. 
A distância entre as abcissas é |3 - 5| = 2
A distância entre as ordenadas é |- 4/3 + 2| = 2/3

xA será igual a xG MENOS o dobro da distância entre xN e xG:
xA = 3 - 2.2 = - 1

yA será igual a yG MAIS o dobro da distância entre yN e yG:
yA = - 4/3 + 2.2/3 = 0

- Analisando P e G para obtenção de B:

P (3, - 4) e G (3, - 4/3): G está verticalmente para cima, uma vez que tem a mesma abcissa que P, logo o vértice B estará mais acima ainda e terá a mesma abcissa. 
A distância entre as abcissas é |3 - 3| = 0
A distância entre as ordenadas é |- 4/3 + 4| = 8/3

xB será igual a xG MENOS o dobro da distância entre xP e xG:
xB = 3 - 2.0 = 3

yB será igual a yG MAIS o dobro da distância entre yP e yG:
yB = - 4/3 + 2.8/3 = 12/3 = 4

Portanto, os vértices são:
A (- 1, 0)
B (3, 4)
C (7, - 8).