Question

Luna e Bebel estão participando de uma olimpíada de robótica no Campus Afogados da Ingazeira. Em uma das provas, elas precisavam levar o robô do ponto A para o ponto B no plano cartesiano, conforme a figura abaixo. Mas, por um descuido, o robô andou 30 cm sob um ângulo de 24° com o eixo horizontal e, para corrigir o trajeto, outros 30 cm sob um ângulo de 56° com a horizontal. Para realizar a prova com o
menor percurso, elas deveriam ter iniciado o trajeto sob qual medida, em graus, do ângulo em relação ao eixo horizontal?

Answer 1

Vamos chamar de "C" o ponto onde há o ângulo de 56°.
Note que o ângulo interno do triângulo no ponto "C" será:

180 - 56 - 24 = 100

Portanto, o ângulo no ponto "C" é igual a 100°. (vide imagem abaixo)

Agora, pela lei dos cossenos, vamos determinar o valor da medida do segmento AB.

AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cosC°
AB² = 30² + 30² - 2 * 30 * 30 * cos100°
AB² = 900 + 900 - 1800 * cos100°
AB² = 1800 + 312,57
AB² = 2112,57
AB = √2112,57
AB = 45,96

Agora que temos todas as medidas do triângulo, podemos determinar o ângulo no ponto A, também pela lei dos cossenos.

BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosA°
30² = 45,96² + 30² - 2 * 45,96 * 30 * cosA°
900 = 2112,57 + 900 - 2757,6 * cosA°
2757,6 * cosA° = 2112,57 + 900 - 900
2757,6 * cosA° = 2112,57
cosA° = 2112,57 / 2757,6
cosA° = 0,766
A° = arccos 0,766
A° = 40

Portanto, o ângulo do triângulo no ponto A vale 40°. Com isso, determinamos o valor do ângulo α.

α + 24 = 40
α = 40 - 24
α = 16

Portanto, para realizar a prova com menor percurso é necessário um ângulo de 16° em relação à horizontal.