Matemática, perguntado por gabrielle5567, 6 meses atrás

Luma
1. O dominio da função real definida por
F(x)=√x - 4

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

O domínio de uma função são todos os valores reais de x para que a função exista.

Antes, precisamos saber das restrições em ℝ:

O denominador não pode ser zero;
O radicando de um radical de índice par não pode ser negativo.

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Assim, vamos determinar o domínio da função real definida por:

$\begin{array}{l}\sf f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{x-4}}\\\\\end{array}$

Analisando a raiz quadrada, como vimos na restrição, o radicando não pode ser negativo:

$\begin{array}{l}\sf\dfrac{1+x}{x-4}\,\geq\,0\\\\\sf\dfrac{\overbrace{\sf1+x}^{\sf h(x)}}{\underbrace{\sf x-4}_{\sf k(x)}}\,\geq\,0\\\\\end{array}$

Fazendo o estudo do sinal dessas duas funções:

h(x) = 1 + x → x = - 1

h(x) > 0 se x > - 1
h(x) = 0 se x = - 1
h(x) < 0 se x < - 1

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k(x) = x - 4 → x = 4

k(x) > 0 se x > 4
k(x) = 0 se x = 4
k(x) < 0 se x < 4

Como sendo uma fração, então a função k que representa o denominador não pode ser zero, assim respeitando a restrição. Logo x ≠ 4.

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Colocando os resultados nos intervalos:

[obs.: na reta da divisão de h(x) por k(x), faça o jogo de sinais].

$~~~~~~~~~~\\\large\begin{array}{l}\sf h(x)\quad\, \!\overset{-------}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\:\underset{\!-1}{\bullet}\!\!\!\:\!\overset{\!\!\!\!+++++++++++++++++++}{\textsf{------------------------------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

$~~~~~~~~~~\large\begin{array}{l}\sf k(x)\quad\, \!\overset{---------------------}{\textsf{------------------------------------}}\!\!\:\!\:\!\underset{4}{\circ}\!\!\:\!\overset{\!\!\!\!\!\!\!++++++}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\!\!\:\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

$\large\begin{array}{l}\sf h(x)/k(x)\quad\, \!\overset{+++++++}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\:\underset{\!-1}{\bullet}\!\!\!\:\!\overset{-----------}{\textsf{---------------------}}\!\!\!\:\underset{4}{\circ}\!\!\overset{\!\!\!++++++}{\textsf{--------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}\\\\$

Como queremos o radicando não deve ser negativo, então onde vemos os positivos no intervalo da divisão é o que precisamos. Vemos valores menores ou iguais a - 1, ou valores maiores que 4.

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Assim temos que o domínio da função f é:

$\large\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf D(f)=\Big\{\:x\in\mathbb{R}~/~x\,\leq\,-1\quad~ou\quad~x > 4\:\Big\}\\\\\end{array}}}\\\\$