Question

Luciana fez uma lista com todos os números inteiros de 1 até 2019, inclusive. Em seguida, dessa lista, Luciana sublinhou de verde os múltiplos de 2, de amarelo os múltiplos de 3 e de azul os múltiplos de 4. Observe que após Luciana completar essa atividade, encontramos números que não foram sublinhados, encontramos números que foram sublinhados exatamente uma vez, números que foram sublinhados exatamente duas vezes e encontramos números que foram sublinhados exatamente três vezes. Determine a quantidade de números da lista de Luciana que foram sublinhados exatamente duas vezes.

Answer 1

Luciana sublinhou, exatamente duas vezes, 588 números.

Veja que os números sublinhados duas vezes podem ser múltiplos de 2 e 3, de 2 e 4 ou de 3 e 4. Por isso, vamos determinar a quantidade de múltiplos em cada situação.

Para que os números sejam múltiplos de 2 e 3, eles devem ser múltiplos de seu produto, ou seja, 6. Para determinar quantos múltiplos de 6 existem de 1 até 2019, vamos dividir o número total de elementos por esse valor e pegar a parte inteira.

$\textbf{2 e 3: }\frac{2019}{6}=336,5\rightarrow \boxed{336}$

De maneira análoga, vamos fazer esses cálculos para os outros pares, onde devemos encontrar, respectivamente, múltiplos de 8 e 12. Logo:

$\textbf{2 e 4: }\frac{2019}{8}=252,375\rightarrow \boxed{252} \\ \\ \\ \textbf{3 e 4: }\frac{2019}{12}=168,25\rightarrow \boxed{168}$

Contudo, veja que dentre esse total, existem números que podem ser múltiplos de 2, 3 e 4 ao mesmo tempo, equivalente aos múltiplos de 12 (pois todo múltiplo de 3 e 4 também será de 2 e 3). Portanto, somando apenas as duas primeiras parcelas, obtemos o seguinte valor:

$Total=336+252=588$