Question

Luana é aluna da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I está resolvendo algumas derivadas e na derivada da função f(x) = (1 + 2x²)(x – x²) ele apresentou a seguinte resolução: f ’(x) = 4x * (1 – 2x) f ’(x) = 4x – 8x² Com base nessa resolução é possível afirmar que: Alternativas: a) Luana resolveu adequadamente a derivada. b) Luana equivocou-se ao empregar a regra da derivada de um produto entre duas funções. c) Luana equivocou-se apenas no sinal, visto que a derivada seria: f ’ (x) = 4x + 8x². d) Luana equivocou-se no cálculo da derivada, visto que não empregou a regra do quociente entre duas funções. e) Luana equivocou-se no cálculo da derivada, visto que calculou apenas a derivada da soma entre funções.

Answer 1

Pode-se afirmar que Luana equivocou-se ao empregar a regra da derivada de um produto entre duas funções.

Observe que 1 + 2x² e x - x² são duas funções. Sendo assim, para calcular a derivada da função f(x), que é definida pelo produto de 1 + 2x² por x - x², utilizaremos a regra do produto.

Sendo u.v uma função, temos que:

(u.v)' = u'.v + u.v'.

Vamos considerar que u = 1 + 2x² e v = x - x². Então,

f'(x) = (1 + 2x²)'.(x - x²) + (1 + 2x²).(x - x²)'

f'(x) = 4x.(x - x²) + (1 + 2x²).(1 - 2x)

f'(x) = 4x² - 4x³ + 1 - 2x + 2x² - 4x³

f'(x) = -8x³ + 6x² - 2x + 1.

Assim, concluímos que a derivada da Luana está errada, pois a mesma derivou as duas funções separadamente, ou seja, não utilizou a regra do produto da forma correta.