Question

logXna base 10+2log 10 na base x=3

Answer 1

$log _{10}x+2log _{x}10=3$


Condição de existência: $\begin{cases}x>0~~e~~x \neq 1~\to~base~e/ou~logaritmando\end{cases}$

Após impor as restrições, devemos aplicar a mudança de base, onde a nossa base será a base 10.

P.M.B (para uma base n):

$\boxed{log _{c}b= \frac{log _{n}b }{log _{n}c }}$

____________________________

$log _{10}x+ 2(\frac{log _{10}10 }{log _{10}x })=3\\\\ log _{10}x+2( \frac{1}{log _{10}x })=3\\\\ log _{10}x+ \frac{2}{log _{10}x }=3$

Usando uma variável auxiliar, fazendo $log _{10}x=y$, teremos:

$y+ \frac{2}{y}=3\\\\ (y*y)+2=3*y\\ y ^{2}+2=3y\\ y^{2}-3y+2=0~\to~equacao~do~2 ^{o}~grau\\\\\ y'=1~~e~~y''=2$

Retomando a variável original, $log _{10}x=y$:

Quando y=1, temos que:

$log _{10}x=1\\ x=10 ^{1}\\ x'=10$


Quando y=2, temos que:

$log _{10}x=2\\ x=10 ^{2}\\ x''=100$

Portanto, não há nenhuma impossibilidade dos valores encontrados não satisfazerem a condição de existência, logo:

$\boxed{S=\{10,100\}}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))