Question

logx - log(x - 1) = log6

Answer 1

Resolver a equação logarítmica:

$\mathrm{\ell og\,}x-\mathrm{\ell og\,}(x-1)=\mathrm{\ell og\,}6$


$\bullet\;\;$ Condições de existência dos logaritmos:

a base dos logaritmos deve ser positiva e diferente de $\mathbf{1};$

os logaritmandos devem ser positivos:

$x>0\;\;\text{ e }\;\;x-1>0\\ \\ \Rightarrow\;\;x>0\;\;\text{ e }\;\;x>1\\ \\ \Rightarrow\;\;x>1$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a equação;

$\mathrm{\ell og\,}x-\mathrm{\ell og\,}(x-1)=\mathrm{\ell og\,}6$


Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente

$\mathrm{\ell og\,}\dfrac{x}{x-1}=\mathrm{\ell og\,}6$


Para uma mesma base, os logaritmos são iguais, se e somente se, os logaritmandos forem iguais:

$\dfrac{x}{x-1}=6\\ \\ x=6\,(x-1)\\ \\ x=6x-6\\ \\ 6x-x=6\\ \\ 5x=6\\ \\ x=\dfrac{6}{5}$


Como $\dfrac{6}{5}>1,$ a solução acima satisfaz as condições de existência.


Portanto, o conjunto solução é

$S=\left\{\dfrac{6}{5} \right \}$