Question

LÓGICA

(Teorema da Correção) Se A, então $\vdash$ A é uma tautologia. Mais geralmente, dados o conjunto de hipóteses Γ e v : Var ⇒ {0, 1}
(uma linha de tabela-verdade), se Γ $\vdash$A, então v(A) ≥ inf{v(C) : C ∈ Γ}.

Answer 1

Resposta:

Olá,

Explicação:

Primeiramente, considerando v : Var $\to$ {0, 1}, vamos supor que a nossa afirmação

Γ $\vdash$ A

é testemunha da prova formal  com vista das proposições

A_1, . . . , A_n.

Sendo, para algum C ∈ Γ acontecer que v(C) = 0. Decorre disso,

v(A) ≥ 0

e está terminada a prova. Assuma que v(C)= 1, para todo C ∈ Γ.

Aqui devemos utilizar o argumento indutivo em i ∈ {1, . . . , n}.

Afirmo que:  v(Ai) = 1.

Pois bem, se  cada A_i

é um axioma, sendo uma tautologia, ocorre que v(A_i) = 1. Já no caso de A_i  ser hipótese de Γ, v(A_i) = 1 devido à suposição anterior. Pela regra do Modus Ponens,  A_j e A_k, com

1 ≤ j, k < i ≤ n, digamos que A_k a fórmula (A_j $\to$ A_i). Novamente, pela hipótese  de indução, v(A_j ) = v(A_k) = v(A_j $\to$ A_i) = 1. Entretanto, v(A_i) = 1,

cqd.

Bons estudos.