Question

Logaritmos - ITA


O valor de $y \ \in \ \mathbb{R}$ que satisfaz a igualdade :

$\log_y 49 \ = \ \log_(y^{_2}_) 7 \ + \ \log_(_2_*_y_) 7$

(log(y) 49) = (log(y²) 7) + (log(2*y) 7)

Answer 1

Vamos colocar tudo na base y para facilitar(melhor ainda: possibilitar) os cálculos.

$log_y49=2log_y7$

$log_{y^2}7=\frac{1}{2}log_y7$    (Existe essa propriedade dos expoentes da base, mas é um corolário da fórmula de mudança de base)

$log_{2y}7=\dfrac{log_y7}{log_y2y}$

A equação fica:

$2log_y7=\frac{1}{2}log_y7 +\dfrac{log_y7}{log_y2y}$

Como $log_y7\neq0\ \ \forall x\in\mathbb{R}$ , podemos dividir os dois lados por esse logaritmo.

$2=\frac{1}{2}+\dfrac{1}{log_y2y}\\ \\ \dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{log_y2y}\\ \\ \\ log_y2y=\dfrac{2}{3}\\ \\ \\ y^{\frac{2}{3}}=2y \ \ \ (y\neq0)\\ \\ \frac{1}{2} = y^{\frac{1}{3}}\\ \\ \boxed{y=\frac{1}{8}}$

Se eu tiver pulado algum passo que não tenha entendido, por favor avise.

Answer 2

Propriedades Utilizadas:

$log_ab^n=nlog_ab$

$log_{a^{n}}b= \frac{1}{n}log_ab$

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$log_y49=log_{y^2}7+log_{2y}7$

$2log_y7= \frac{1}{2}log_{y}7 +log_{2y}7$

$\frac{3}{2} log_y7=log_{2y}7$

$log_{y^{\frac{2}{3}}}7=log_{2y}7$

$y^{\frac{2}{3}}=2y$

$1=2y^{1-\frac{2}{3}}$

$\frac{1}{2}=y^{\frac{1}{3}}$

$y= (\frac{1}{2})^3$

$y= \frac{1}{8}$