Question

Logaritmos ajuda!

Gente, como eu faço para somar logaritmos com bases diferentes:
este aqui:

$log _2 x + log_4x = 5/4$

a resposta é $\sqrt{2}$

Answer 1

Você tem que igualar as bases, utilizando das propriedades logarítmicas (mudança de base)

Mudança de base (b para c):

$log_{b}(x)=\dfrac{log_{c}(x)}{log_{c}(b)}$
_______________________

$log_{2}(x)+log_{4}(x)=5/4$

Vamos mudar a base de log de x na base 2 para 4:

$\dfrac{log_{4}(x)}{log_{4}(2)}+log_{4}(x)=\dfrac{5}{4}\\\\\\\dfrac{log_{4}(x)}{\left(\frac{1}{2}\right)}+log_{4}(x)=\dfrac{5}{4}\\\\\\2log_{4}(x)+log_{4}(x)=\dfrac{5}{4}\\\\\\log_{4}(x^{2})+log_{4}(x)=\dfrac{5}{4}\\\\\\log_{4}(x^{2}\cdot x)=\dfrac{5}{4}\\\\\\log_{4}(x^{3})=\dfrac{5}{4}$

Aplicando a definição de logaritmos:

$4^{\frac{5}{4}}=x^{3}\\(2^{2})^{\frac{5}{4}}=x^{3}\\2^{\frac{5}{2}}=x^{3}$

Multiplicando os expoentes dos 2 lados por 1/3:


$2^{\frac{5}{2}*\frac{1}{3}}=x^{3*\frac{1}{3}}\\2^{\frac{5}{6}}=x^{1}\\\\\boxed{\boxed{x=\sqrt[6]{2^{5}}}}$

Se preferir:

$\boxed{\boxed{x=\sqrt[6]{32}}}$

O gabarito está errado