Question

LOGARITMO
VALENDO 7 PONTOS​

Answer 1

O valor de $\log_{20}200$ é igual a

$\Large\dfrac{3-a}{2-a},$

que é a resposta contida na alternativa e.

Explicação

Dado $\log5=a,$ deseja-se saber o valor de $\log_{20}200.$

Para encontrar tal valor, incialmente vamos usar a propriedade da mudança de base.

Mudança de base

Sejam $a, b$ e $q$ números reais positivos e $b$ e $q$ diferentes de 1. Vale a seguinte propriedade:

$\Large\text{ \log_{b}a=\dfrac{\log_{q}a}{\log_{q}b}. }$

Nesta questão, é conveniente fazer a mudança para a base 10, uma vez que é dado $\log5=a.$ Fazendo isso, segue que:

$\Large\begin{gathered}\log_{20}200=\dfrac{\log 200}{\log 20}.\end{gathered}$

Lembre-se de que, quando a base é 10, ela pode ser omitida.

Agora usando a propriedade do logaritmo do produto e do quociente, temos:

$\Large\begin{aligned}\log_{20}200&=\dfrac{\log 200}{\log 20}\\\\&=\dfrac{\log (2\cdot100)}{\log\left(\dfrac{100}{5}\right)}\\\\&=\dfrac{\log 2+\log 100}{\log 100-\log 5}\\\\&=\dfrac{\log\left(\dfrac{10}{5}\right)+2}{2-a}\\\\&=\dfrac{(\log 10-\log 5)+2}{2-a}\\\\&=\dfrac{1-a+2}{2-a}\\\\&=\dfrac{3-a}{2-a}.\end{aligned}$

Portanto,

$\Large\boxed{\boxed{\log_{20}200=\frac{3-a}{2-a}.}}$

Resposta: alternativa e.

Se houver dúvidas, comente.

Espero ter ajudado!

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