Question

log49 3√7 calculo pfv

Answer 1

Olá

Para o cálculo deste logaritmo, necessitaremos saber as seguintes identidades

$\boxed{\mathsf{\log_n(x)=y~|~n^{y}=x}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{\log_n(x\cdot y)=\log_n(x)+\log_n(y)}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{\log_{n^{z}}(x)=\dfrac{1}{z}\cdot \log_n(x)}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{\log_n(x^{z})=z\cdot\log_n(x)}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{\log_{n^{z}}(n^{y})=\dfrac{y}{z}}}$

Então, apliquemos a segunda identidade para este logaritmo

$\mathsf{\log_{49}(3\sqrt[2]{7})=\log_{49}(3)+\log_{49}(\sqrt[2]{7})}$

Usando a última identidade, simplifique um dos logaritmos

Primeiro, iguale as bases

$\mathsf{\log_{7^{2}}(7^{\frac{1}{2}})}$

Aplique a identidade

$\mathsf{\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)}{2}}$

Simplifique a fração complexa usando
$\boxed{\mathsf{\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}\right)}{c}=\dfrac{a}{b\cdot c}}}$

$\dfrac{1}{2\cdot2}\\\\\\ \dfrac{1}{4}$

Então, re-substitua este valor na expressão

$\mathsf{\log_{49}(3)+\dfrac{1}{4}}$

Agora, simplifique o primeiro logaritmo usando a terceira identidade

Simplifique a base, deixando-a imutável

$\mathsf{\log_{7^{2}}(3)}$

Use a identidade

$\dfrac{1}{2}\cdot\log_{7}(3)}$

Logo, re-substitua este valor na expressão

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot\log_{7}(3)+\dfrac{1}{4}}$

Simplifique a multiplicação e por fim a soma de frações

$\boxed{\mathbf{\dfrac{2\log_7(3)+1}{4}}}~~\checkmark$

Esta é a resposta