Question

log3(x + 7) + log3(x – 1) = 0

Answer 1

Oi,

Equação logarítmica: $log_3 ~ (x+7) + log_3 ~ (x-1)= 0$

Há uma propriedade dos logaritmos que possibilita transformar uma soma de logaritmos de mesma base em um produto. Observe:
$log_3 ~ (x+7) + log_3 ~ (x-1)= 0 \\ \\ log_3 ~ ((x+7) \cdot (x-1)) = 0$

Utilizando outra propriedade, pode-se transformar a igualdade logarítmica acima em uma igualdade exponencial, então, teremos
$log_3 ~ ((x+7) \cdot (x-1)) = 0\\ \\(x+7) \cdot (x-1)= 3^0 \\ \\ (x+7) \cdot (x-1) = 1$

Agora basta resolver essa equação do segundo grau e analisar os resultados obtidos. Obs.: Resolva pelo método que você preferir.
$(x+7) \cdot (x-1) = 1 \\ \\ x^2+6x-8= 0 \\ \\ x^2+6x+9-8= 9 \\ \\ (x+3)^2-8= 9 \\ \\ (x+3)^2= 17 \\ \\ (x+3)= \pm \sqrt{17} \\ \\ \\ x= -3- \sqrt{17} ~~~ x= \sqrt{17} - 3$

A última observação a se fazer é de que o logaritmando precisa ser, necessariamente, positivo. Então, teremos que assumir que o valor de x será
$\boxed{x= \sqrt{17} - 3}$