Question

log2 x +  log$\sqrt{2}$ x = -3

Answer 1

Olá,

a condição de existência está no logaritmando, (x>0), vamos aplicar a propriedade de mudança de base, pois o 1° log está na base 2, e o 2° na base √2, vamos deixa-los na base de conveniência (base2)..

 P.M.B:

$\boxed{log_c(b)= \dfrac{log(b)}{log(c)}}$

$\log_2(x)+log_{ \sqrt{2}}(x)=-3\\\\ \log_2(x)+ \dfrac{\log_2(x)}{\log_2 (\sqrt{2}) }=-3\\\\\\ \log_2(x)+ \dfrac{\log_2(x)}{ \dfrac{1}{2} }=-3\\\\ \dfrac{1}{2}\cdot\log_2(x)+\log_2(x)= \dfrac{1}{2}\cdot(-3)\\\\ \dfrac{1}{2}\log_2(x)+\log_2(x)=- \dfrac{3}{2}\\\\ \dfrac{3}{2}\log_2(x)=- \dfrac{3}{2}\\\\\\ \log_2(x)= \dfrac{ \dfrac{3}{2} }{- \dfrac{3}{2} }\\\\\\ \log_2(x)=-1\\\\ x=2^{-1}\\\\ x= \dfrac{1}{2^1}\\\\ x= \dfrac{1}{2}~~(atende)$

Como x atende à condição..

$\Large\boxed{S=\left\{ \dfrac{1}{2}\right\}}$

Tenha ótimos estudos ;D