Question

Log2^(x-2)+log2^(x-3)=1+log2^(2x-7)

Answer 1

Vamos lá.

Black, estamos entendendo que a expressão logarítmica da sua questão estaria escrita da seguinte forma:

log₂ (x-2) + log₂ (x-3) = 1 + log₂ (2x-7)

Se for isso mesmo, então antes de mais nada vamos encontrar as condições de existência da expressão logarítmica acima.
Veja que:

i) Quanto à base de logaritmos, esta tem que ser maior do que zero e diferente de "1". Como a base é igual a "2", então ela já satisfaz a essa condição, pois sendo a base igual a "2" ela já é maior do que zero e diferente de "1". Logo, não deveremos nos preocupar com a base.
ii) Quanto ao logaritmando, note que só há logaritmos de números positivos. Então vamos impor que cada logaritmando seja maior do que zero.
Assim:

x-2 > 0
x > 2 ----- esta é uma condição de existência

x-3 > 0
x > 3 ----- esta é outra condição de existência

e

2x-7 > 0
2x > 7
x > 7/2 (o que dá "3,5") ----- esta é outra condição de existência.

Agora veja: entre x >2, x > 3 e x > "3,5" , então vai prevalecer esta última, pois sendo x > 7/2 (ou 3,5) ela já é maior do que "2" e do que "3".
Assim, a condição de existência que vai prevalecer será de:

x > 7/2 ------ Esta será a condição de existência a que nos ateremos.

iii) Agora vamos voltar à expressão logarítmica da sua questão e vamos trabalhar com ela:

log₂ (x-2) + log₂ (x-3) = 1 + log₂ (2x-7)

Veja que o "1", que está no 2º membro, poderá ser expresso da seguinte forma: log₂ (2) <--- Note que isto é igual a "1", pois todo logaritmo, cujo logaritmando é igual à base o resultado é "1". Então vamos fazer esta substituição, ficando:

log₂ (x-2) + log₂ (x-3) = log₂ (2) + log₂ (2x-7) 

Agora vamos transformar a soma em produto, ficando:

log₂ [(x-2)*(x-3)] = log₂ [2*(2x-7)]

Veja: como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos, ficando assim:

(x-2)*(x-3) = 2*(2x-7) ----- efetuando os produtos indicados, ficaremos assim:

x² - 5x + 6 = 4x - 14 ------ passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² - 5x + 6 - 4x + 14 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 9x + 20 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

x' = 4
x'' = 5

Assim, como ambas as raízes encontradas aí em cima são maiores do que "7/2" , então ambas são válidas.
Logo, a resposta será:

x = 4 ou x = 5.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:

S = {4; 5}

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.