Question

log2(x+2)+log2(x-2)=5

Answer 1

Resolver a equação logarítmica:

log₂ (x + 2) + log₂ (x – 2) = 5


•   Condição de existência para a solução:
    
    Logaritmandos devem ser sempre positivos. Logo, devemos ter
 
    x + 2 > 0    e    x – 2 > 0

    x > – 2    e    x > 2

    x > 2    <———    esta é a condição de existência.


•   Resolvendo a equação:

    log₂ (x + 2) + log₂ (x – 2) = 5

    Aplique uma propriedade operatória dos logaritmos:  a soma de logaritmos
    de mesma base é igual ao logaritmo do produto:

    log₂ [ (x + 2) · (x – 2) ] = 5

    Portanto, por definição, devemos ter

    (x + 2) · (x – 2) = 2⁵

    (x + 2) · (x – 2) = 32

    Desenvolvendo o produto do lado esquerdo,

    (x + 2) · x – (x + 2) · 2 = 32

    x² + 2x – 2x – 4 = 32

    x² – 4 = 32

    x² = 32 + 4

    x² = 36

    Tirando as raízes quadradas, obtemos

    x = ± √36

    x = ± 6

    x = 6    ou    x = – 6  (não serve, pois x > 2)


Logo, apenas  x = 6  é solução para a equação dada inicialmente.


Conjunto solução:   S = {6}.


Bons estudos! :-)