Question

log2 (x + 1) + log2 (x - 1) = 1

Answer 1

O valor de x que satisfaz a equação é igual a $\mathbf{\sqrt{3}}$

• Resolvendo o problema

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$\log_2\;(x+1)+\log_2\;(x-1)=1$

Como a tarefa trata de logaritmos, podemos chegar à solução usando algumas de suas propriedades.

Primeira propriedade

$\log_b\;a+\log_b\;c=\log_b\;a\;.\;c$

Logo, a equação fica

$\log_2\;[(x+1)\;.\;(x-1)]=1$

Segunda propriedade

$\log_b\;b=1$

O que nos leva a

$\log_2\;[(x+1)\;.\;(x-1)]=\log_2\;2$

Como a base é a mesma em ambos os lados do sinal de igualdade, podemos comparar apenas os logaritmandos

$(x+1)\;.\;(x-1)=2\\\\x\;.\;x+x\;.\;-1+1\;.\;x+1\;.\;-1=2\\\\x^2-x+x-1=2\\\\x^2-1=2\\\\x^2=2+1\\\\x^2=3\\\\x=\pm \sqrt{3}$

• Conclusão

O valor $\mathbf{-\sqrt{3}}$ não serve porque tornaria negativos os valores entre parênteses na equação original e não existe logaritmo de números negativos.

Portanto, o único valor que satisfaz a equação é $\mathbf{x=\sqrt{3}}$