Question

log2(3x-1)-logy(x+1)=1/2

Answer 1

Vamos lá.

Samuel, eu vim aqui no seu perfil e vi que havia uma expressão logarítmica (ainda sem resposta de ninguém), mas que era a mesma que resolvi, considerando "y" como base de um dos logaritmos.
Agora, vou resolver a questão, mas considerando que a base "y" será, na verdade, base "4".
Assim, considerando desta forma, iremos resolver a seguinte expressão logarítmica:

log₂ (3x-1) - log₄ (x+1) = 1/2 ---- Antes vamos para as condições de existência dos logaritmandos. Veja que só existe logaritmos de números positivos. Logo, deveremos impor que cada logaritmando seja maior do que zero. Assim, deveremos ter que:

3x - 1 > 0
3x > 1
x > 1/3
e
x+1 > 0
x > -1 .

Agora note: entre "x" ser maior do que "1/3" e do que "-1", então vale a primeira hipótese (x > 1/3), pois sendo x maior do que "1/3" já é maior do que "-1".
Assim, a condição de existência que vai prevalecer é esta:

x > 1/3

Bem, agora, vamos trabalhar com a expressão acima, que é esta:

log₂ (3x-1) - log₄ (x+1) = 1/2 ---- veja que 4 = 2². Assim:

log₂ (3x-1) - log₂² (x+1) = 1/2

Note que: o INVERSO de todo expoente da base multiplica o respectivo logaritmo. Com isso, ficaremos assim:

log₂ (3x-1) - (1/2)*log₂ (x+1) = 1/2 ------ passando para expoente o fator "1/2", que ora multiplica o logaritmo (x+1), na base "2", teremos:

log₂ (3x-1) - log₂ (x+1)¹/² = 1/2 ----- agora, como as bases são iguais, então poderemos transformar a subtração em divisão, com o que ficaremos assim:

log₂ [(3x-1)/(x+1)¹/²] = 1/2  ----- aplicando a definição de logaritmos, temos que isto é a mesma coisa que:

2¹/² =(3x-1)/(x+1)¹/² ----- note que: 2¹/² = √(2) e (x+1)¹/² = √(x+1). Assim:

√(2) = (3x-1)/√(x+1) ----- multiplicando em cruz, teremos:
√(x+1)*√(2) = 3x-1 ---- ou, o que é a mesma coisa:
√[(x+1)*2] = 3x-1 --- ou:
√[2*(x+1)] = 3x-1 --- ou ainda:
√(2x+2) = 3x-1 ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos assim:

[√(2x+2)]² = (3x-1)² ---- desenvolvendo o quadrado nos dois membros, teremos:

2x + 2 = 9x² - 6x + 1 ----- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:

0 = 9x² - 6x + 1 - 2x - 2 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

0 = 9x² - 8x - 1 ---- vamos apenas inverter, ficando:
9x² - 8x - 1 = 0 ----- aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = - 1/9 <--- raiz descartada, pois, conforme a condição de existência, temos que "x" terá que ser maior do que "1/3" e aqui temos um valor de "x"  que é menor que "1/3". Por isso, descartaremos esta raiz.

x'' = 1 <--- raiz válida, pois "1" é maior do que "1/3", obedecendo à condição de existência.

Assim, temos que o valor de "x" que satisfaz a toda a expressão logarítmica é:

x = 1 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução assim, o que é a mesma coisa:

S = {1} .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.