Question

log2 (2x+10)+log2(x+1)=6

Answer 1

Olá Cleia 

log2(2x + 10) + log2(x + 1) = 6

log(2x + 10) + log(x + 1) = 6*log(2) = log(2^6) = log(64)

(2x + 10)*(x + 1) = 64 

2x² + 12x + 10 = 64 

2x² + 12x - 54 = 0

x² + 6x - 27 = 0

delta
d² = 36 + 108 = 144
d = 12

x = (-6 + 12)/2 = 6/2 = 3

.

Answer 2

Equação: $log_2 ~(2x+10)+log_2 ~(x+1)=6$

Precisamos transformar a equação acima numa mais simples, aplicando a seguinte propriedade logarítmica:
$Log_x ~(y \cdot z) ~~~ \to ~~~ log_x ~y + log_x ~ z$

Aplicando a propriedade acima na equação inicial:
$Log_2 ~(2x+10)+log_2 ~(x+1)=6 \\ \\ log_2 ~((2x+10) \cdot (x+1))= 6 \\ \\ log_2 (2x^2+12x+10)= 6$

Agora precisaremos aplicar uma das propriedades mais conhecidas dos logaritmos, que é a seguinte:
$log_x ~y = z ~~~ \to ~~~ y= x^z$

Aplicando a propriedade acima, teremos:
$log_2 ~(2x^2+12x+10)= 6 \\ \\ 2x^2+12x+10= 2^6 \\ \\ 2x^2+12x+10= 64$

Simplificando a equação acima por 2 e reorganizando:
$2x^2+12x+10= 64 ~~~ \div (2) \\ \\ x^2+6x+5= 32 \\ \\ x^2+6x+5-32= 0 \\ \\ x^2+6x-27= 0$

Observação: essa equação do segundo grau pode ser solucionada com diversos métodos, utilize aquele que você possui maior afinidade.

Encontrando as raízes da equação utilizando a fatoração:
$x^2+6x-27= 0 \\ \\ (x-3) \cdot (x+9)= 0 \\ \\ \\ x-3= 0 ~~~~~~ x+9= 0 \\ \\ \boxed{x= 3} ~~~~~~~~~~ x= -9$

Antes que possamos concluir a questão devemos lembrar acerca da condição de existência de um logaritmo, onde não podemos ter um valor menor que zero no logaritmando. Analisando essa condição (substituindo na equação), percebe-se que quando x for igual a -9 o logaritmando será negativo, invalidando a equação, portanto, teremos como resposta x igual a 3:
$\boxed{S= \{ ~x ~\in ~\mathbb{R} ~/ ~x = 3\}}$