Question

log128 base 2048

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Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{log_{128}\:2048 = log_{2^7}\:2^{11}}$

$\mathsf{log_{128}\:2048 = \dfrac{11}{7}\:.\:log_{2}\:2}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{log_{128}\:2048 = \dfrac{11}{7}}}}$

Answer 2

Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante aos conhecimentos de propriedades operatórias dos logaritmos que

$\sf \log_{128}2048=\dfrac{11}{7}$ ✅

Definição de logaritmo

O logaritmo de um número real b positivo, na base a positiva e diferente de 1 é o número  x a qual se deve elevar a para obter b.

• matematicamente:

        $\sf \log_ab=x\iff a^x=b\\\begin{cases}\sf b > 0\\\sf a > 0\\\sf a\ne1\end{cases}$

$\sf a\longrightarrow$ base

$\sf b\longrightarrow$ logaritmando

$\sf x\longrightarrow$logaritmo

Propriedades operatórias dos logaritmos

Satisfeitas as condições de existência vamos discutir neste tópico as 4 principais propriedades operatórias dos logaritmos

• Logaritmo do produto:

O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos tomados na mesma base.

matematicamente: $\sf\log_c(a\cdot b)=\log_ca+\log_cb$

Demonstração:

fazendo $\sf \log_ca=x,\log_cb=y,\log_c(a\cdot b)=z$ vamos provar que $\sf z=x+y$.

Com efeito:

$\sf \log_ca=x\implies a=c^x\\\sf \log_cb=y\implies b=c^y\\\sf \log_c(a\cdot b) =z\implies a\cdot b=c^z$

substituindo a e b na última igualdade vem:

$\sf c^x\cdot c^y=c^z\\\sf c^z=c^{x+y}\\\sf z=x+y~\blacksquare$

• Logaritmo do quociente:

O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos tomados na mesma base.

matematicamente: $\sf\log_c\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)=\log_ca-\log_cb$

demonstração:

fazendo $\sf \log_ca=x,\log_cb=y,\log_c\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)=z$ vamos provar que $\sf z=x-y$.

Com efeito:

$\sf \log_ca=x\implies a=c^x\\\sf \log_cb=y\implies b=c^y\\\sf \log_c\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)=z\implies \dfrac{a}{b}=c^z$

substituindo a e b na terceira igualdade vem:

$\sf\dfrac{c^x}{c^y}=c^z\\\\\sf c^z=c^{x-y}\\\sf z=x-y~\blacksquare$

• Logaritmo da potência

O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência

matematicamente: $\sf \log_ab^n=n\cdot\log_ab$

demonstração:

fazendo $\sf \log_ab=x,\log_ab^n=y$ vamos provar que $\sf y=n\cdot x$.

Com efeito:

$\sf\log_ab=x\implies b=a^x\\\sf \log_ab^n=y\implies b^n=a^y$

substituindo b na segunda igualdade vem:

$\sf (a^x)^n=a^y\\\sf a^y=a^{n\cdot x}\\\sf y=n\cdot x~\blacksquare$

• Mudança de base

Em algumas situações, a mudança de base se faz necessária para resolver determinados problemas. O logaritmo de um número real b na base a escrito em uma nova base c é igual a fração cujo numerador é o logaritmo do logaritmando na base c e o denominador é o logaritmo da antiga base a na base c.

matematicamente:    $\sf \log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$

demonstração:

fazendo $\sf \log_ab=x,\log_cb=y,\log_ca=z$ vamos provar que $\sf x=\dfrac{y}{z}$.

Com efeito:

$\sf \log_ab=x\implies b=a^x\\\sf \log_cb=y\implies b=c^y\\\sf \log_ca=z\implies a=c^z$

substituindo a terceira e segunda igualdades na primeira temos:

$\sf b=a^x\\\sf b=(c^z)^x\\\sf c^y=c^{z\cdot x}\\\sf y=z\cdot x\\\sf z\cdot x=y\\\sf x=\dfrac{y}{z}~\blacksquare$

Consequência da mudança de base

o logaritmo de um número b na base a com expoente n é igual  ao produto do recíproco do expoente pelo logaritmo de b na base a.

matematicamente: $\sf\log_{a^n}b=\dfrac{1}{n}\cdot \log_ab$

Demonstração:

1. se b=1, temos:

$\sf\log_a1=0\bigg\}\\\sf\log_{a^n}1=0\bigg\}\implies \log_{a^n}b=\dfrac{1}{n}\log_ab$

2. se b≠1 temos:

$\sf \log_{a^n}b=\dfrac{1}{\log_ba^n}=\dfrac{1}{n\cdot \log_ba}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{\log_ba}\\\\\sf \log_{a^n}b=\dfrac{1}{n}\cdot \log_ab~\blacksquare$

✍️Vamos a resolução do exercício

Neste exercício, das propriedades já demonstradas anteriormente, iremos utilizar a consequência da mudança de base em conjunto com o logaritmo da potência para calcular o logaritmo pedido.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{array}{c|c}\sf2048&\sf2\\\sf1024&\sf2\\\sf512&\sf2\\\sf256&\sf2\\\sf128&\sf2\\\sf64&\sf2\\\sf32&\sf2\\\sf16&\sf2\\\sf8&\sf2\\\sf4&\sf2\\\sf2&\sf2\\\sf1\end{array}\\\sf 2048=2^{11}~~~128=2^7.\\\sf \log_{128}2048=\log_{2^7}2^{11}\\\sf\log_{128}2048=11\cdot\dfrac{1}{7}\cdot\log_22\\\\\sf \log_{128}2048=\dfrac{11}{7}\cdot1\\\\\sf \log_{128}2048=\dfrac{11}{7}\end{array}}$

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