Question

log(x+4) + log ( x-2)= 2 log 3​

Answer 1

Vamos usar as seguintes propriedades de Log :

• $\text{log(a)+log(b) = log(a.b) }$

• $\text{a.log(b)} =\text {log(b)}^\text a}$

• $\text{log(a)=log(b)} \to \text{a=b}$

• $\text{log(k)}$, Existe se K > 0

Bora pra questão:

$\text{log(x+4)+log(x-2)=2.log3}$

1º vamos checar a condição de existência de um log :

$\text{log(x+4)} \to \text x+4>0 \to \boxed{\text{x} > -4}$

$\text{(x-2)} \to \text x -2 > 0 \to \boxed{\text x > 2}$

2º Resolvendo a questão

$\text{log(x+4)+log(x-2)=2.log3}$

$\text{log[(x+4)(x-2)] = log3}^{2}$

$\text{(x+4)(x-2)=9 }$

$\text x^2 -2\text x + 4\text x - 4.2 = 9$

$\text x^2 +2\text x - 17=0$

usando bhaskara :

$\displaystyle \text x = \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4.(-17).1}}{2.1} \to \text x = \frac{-2\pm\sqrt{72}}{2}$

$\displaystyle \text x = \frac{-2\pm\sqrt{6^2.2}}{2} \to \text x = \frac{-2\pm 6\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle \text x = \frac{-2+6\sqrt{2}}{2} \to \text {x} = -1 + 3\sqrt{2}$

Sabendo que $\sqrt{2} \approx 1,4$, então :

$\text x \approx -1 + 3.1,41 \to \boxed{\text x \approx 3,2}$

Convém pois x > 2

e

$\displaystyle \text x = \frac{-2-6\sqrt{2}}{2} \to \text x = -1 -3\sqrt{2}$

$\text x \approx -1 - 3.1,4 \to \boxed{\text x \approx -5,2}$

(Não convém, pois x > -4)

Portanto a solução é :

$\huge\boxed{\text x=-1+3\sqrt{2}}$