Matemática, perguntado por lilia1313, 1 ano atrás

log(x+2)(x-3)= log (x+2)(2x-1)

Soluções para a tarefa

Respondido por adjemir
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Vamos lá.

Veja, Lilia, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte equação logarítmica, que vamos colocá-la na base "10", pois quando a base é omitida subentende-se que ela seja "10". Assim teremos:

log₁₀ [(x+2)*(x-3)] = log₁₀ [(x+2)*(2x-1)]

ii) Antes de começar a resolução, vamos encontrar quais são as condições de existência. Note que só existem logaritmos de números positivos. Logo, deveremos impor que os logaritmandos sejam positivos (>0). Assim, teremos:

(x+2)*(x-2) > 0           . (I)
e
(x+2)*(2x-1) > 0         . (II)

iii) Vamos começar resolvendo a expressão (I), que é esta:

(x+2)*(x-3) > 0 ----- efetuando o produto indicado, teremos:
x² - x - 6 > 0 ----- se você aplicar Bháskara, verá que as raízes desta equação são estas: x' = -2; e x'' = 3 . Então vamos fazer o estudo de sinais desta inequação em função de suas raízes. Assim teremos:

x² - x - 6 > 0 ... + + + + + + + (-2) - - - - - - - -  (3) + + + + + + + +

Assim, para que a expressão (I) seja positiva é necessário que o valor de "x" esteja antes de "-2" ou após "3". Logo, teremos isto para a expressão (I):

x < -2, ou x > 3

iv) Agora vamos trabalhar com a expressão (II), que é esta:

(x+2)*(2x-1) > 0 ----- resolvendo este produto, teremos;
2x² + 3x - 2 > 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes: x' = - 2; e x'' = 1/2.
A exemplo da expressão anterior, vamos estudar a variação de sinais desta inequação em função de suas raízes:

2x² + 3x - 2 > 0 .. + + + + + + + (-2) - - - - -  (1/2) + + + + + + + +

Assim, para que a expressão (II) seja positiva é necessário que o valor de "x" esteja antes de "-2" ou após "1/2". Logo, teremos isto para a expressão (II):

x < -2; ou x > 1/2

v) Logo, deveremos encontrar qual é a intersecção entre o que vale para a expressão (I) e para a expressão (II). Então vamos marcar o que vale para cada uma das duas expressões com o símbolo ///////// . E a intersecção entre elas marcaremos com o símbolo |||||||||.
Então vamos fazer isto para a expressão (I) e a expressão (II), respectivamente:

x² - x - 6 > 0 ....... / / / / / / / / / / (-2)_______________ (3) / / / / / / / / / / 
2x² + 3x - 2 > 0 .../ / / / / / / / / / (-2) _____(1/2)/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /
Intersecção........ | | | | | | | | | | | | (-2) _______________(3) | | | | | | | | | | |

Assim, como você viu, a intersecção ficou no seguinte intervalo:

x < -2; ou x > 3 ----- Esta é a condição de existência das duas expressões logarítmicas. Ou seja, elas só existirão se os valores de "x" ficarem subordinados aos intervalos acima.

vi) Como já temos as condições de existência, agora vamos resolver a expressão logarítmica da sua questão, que é esta:

log₁₀ [(x+2)*(x-3)] = log₁₀ [(x+2)*(2x-1)] ---- como as bases são iguais nos dois membros, então poderemos igualar os logaritmandos. Assim teremos:

(x+2)*(x-3) = (x+2)*(2x-1) ----- efetuando os produtos indicados em cada membro, teremos;

x² - x  - 6 = 2x² + 3x - 2 --- passando o 1º membro para o 2º, ficaremos assim:
0 = 2x²+3x-2 - x²+x+6 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = x² + 4x + 4  --- ou, invertendo-se:
x² + 4x + 4 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = x'' = -2

Agora note: conforme as condições de existência os valores de "x" deveriam estar no seguinte intervalo:

x < -2, ou x > 3.

Como encontramos que o valor de "x' é exatamente igual a "-2", então a expressão logarítmica da sua questão não terá resposta no âmbito dos números reais, pelo que somos obrigados a afirmar que o conjunto-solução dessa expressão logarítmica, no campo dos números reais,  será:

S = ∅ , ou simplesmente:  S = { } <--- Esta é a resposta.

A propósito, note que se você substituir o "x' por "-2" na expressão logarítmica original da sua questão, você vai ver que cada uma das expressões zeraria e não existe logaritmo de "0" nem de números negativos, mas apenas de números positivos (>0).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.
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