Question

(log x)² - 5.log x + 6 = 0.A soma das soluções dessa equação é:?

Answer 1

Devemos ter a seguinte restrição:

$x>0$

pois os logaritmandos só podem ser positivos.


Resolver a equação

$\left(\mathrm{\ell og\,}x \right )^{2}-5\mathrm{\,\ell og\,}x+6=0$


Fazendo a substituição

$y=\mathrm{\ell og\,}x\;\;\Leftrightarrow\;\;x=10^{y}$

obervamos que não temos nenhuma restrição para $y$, pois o logaritmo pode assumir qualquer valor real. Então, ficamos com

$y^{2}-5y+6=0\\ \\ y^{2}-2y-3y+6=0\\ \\ y\cdot \left(y-2 \right )-3\cdot \left(y-2\right)=0\\ \\ \left(y-2 \right )\cdot\left(y-3 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} y-2=0&\text{ ou }&y-3=0\\ \\ y=2&\text{ ou }&y=3 \end{array}$


Voltando para a variável $x$, temos

$\begin{array}{rcl} x=10^{2}&\text{ ou }&x=10^{3} \end{array}\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=100&\text{ ou }&x=1\,000 \end{array}}$


Logo, as somas das soluções desta equação é

$100+1\,000=1\,100$