Question

Log $log_{x} 5+ log_{25} X =3/2$

2) Solucione o sistema
$\left \{ {{2^x^+^2^y=32} \atop { log_{2} X+log_{ \frac{1}{2}}Y=-1\right.$

Answer 1

log(x)   =  log(x)/log(25), pela mudança de base:
   ²⁵            ⁵          ⁵

Log(5) + log(x)/log(25) = 3/2 → log(25) = 2         log
     x            ⁵           ⁵                         ⁵

log(5)  + log(x)/2 = 3/2  →     log(b)  =  1/log(a)
    x              ⁵                             a                b

1/log(x)  + log(x)/2 = 3/2 → mmc = 2*log(x)
       ⁵            ⁵                                         ⁵

[2*1 + log(x)*log(x)]/2*log(x) = 3/2
              ⁵          ⁵             ⁵

2 + [log(x)]² = 3/2*(2*log(x))
           ⁵                         ⁵

[log(x)]² + 2 = 3*log(x)
      ⁵                       ⁵

[log(x)]² -3log(x) + 2 = 0
     ⁵              ⁵

Vamos fazer uma substituição de variavel:

Y = Log(x)
           ⁵

Y² -3Y + 2 = 0

a = 1
b = -3
c = 2

Δ = b² -4*(a*c)
Δ = (-3)² -4*(1*2)
Δ = 9 - 8
Δ = 1

Y = (-b +/- √Δ)/2*a
Y = (-(-3) +/- √1)/2*1

Y' = (3 + 1)/2 → 4/2 → 2
Y" = (3 - 1)/2 → 2/2 → 1

Vamos substituir o valor de "Y" onde fizemos a substituição de variavel:

Y = log(x)
         ⁵
2 = log(x) → 5² = x ⇔ X = 25
         ⁵
Y = Log(x)
          ⁵
1 = log(x) → 5¹ = x ⇔ X = 5
         ⁵

∴ Portanto o conjunto soloção será  {5, 25}

2)

Equação 1:

$2^x^+^2^y = 32 \\ \\ 2^x^+^2^y = 2^5 \\ \\ x + 2y = 5$

Equação 2:

log(x) + log(y)  = -1
    ²          ₁/₂

log(x) - log(y) = -1
   ²           ²

log(x/y) = -1
   ²
2⁻¹ = x/y  ← 2⁻¹ = 1/2

x/y = 1/2
X = 1/2*(y)
X = y/2

vamos substituir "X" = Y/2 na equação "1"

$x + 2y = 5 \\ \frac{y}{2} + 2y = 5 \\ \\ \frac{5y}{2} = 5 \\ \\ 5y = 10 \\ \\ y = 2$

Agora vamos substituir o "Y" = "2" na equação

$x = \frac{y}{2} \\ \\ x = \frac{2}{2} \\ \\ x = 1 \\ \\ \left \{ {{y=2} \atop {x=1}} \right.$