Question

log raiz quarta de 8 na base 1/4​

Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar propriedades de logaritmos e potencias.

$\log_{_{\frac{1}{4}}}\sqrt[4]{8}~=~x$

Vamos começar lembrando que um radical pode ser escrito como uma potência de expoente fracionário, como mostrado no exemplo abaixo.

$\boxed{\sqrt[b]{a^c}~=~a^\frac{c}{b}}$

O logaritmo pode ser reescrito então como:

$\log_{_{\frac{1}{4}}}8^{\frac{1}{4}}~=~x$

A base do logaritmo (1/4) pode ser reescrita como uma potência de expoente negativo.

$\log_{_{4^{-1}}}8^{\frac{1}{4}}~=~x$

Aplicando a definição de logaritmo:

$8^{\frac{1}{4}}~=~\left(4^{-1}\right)^x$

Reescrevendo as bases 4 e 8 como potências de base 2, teremos:

$\left(2^3\right)^{\frac{1}{4}}~=~\left(\left(2^2\right)^{-1}\right)^x$

Aplicando a propriedade da potência de potência:

$2^{3\cdot\frac{1}{4}}~=~2^{2\cdot(-1)\cdot x}\\\\\\2^{\frac{3}{4}}~=~2^{-2x}$

Chegamos a uma igualdade de potencias de mesma base, para que a igualdade seja mantida, os expoentes devem ser também iguais.

$\backslash\!\!\!2^{\frac{3}{4}}~=~\backslash\!\!\!2^{-2x}\\\\\\\dfrac{3}{4}~=\,-2x\\\\\\x~=~\dfrac{3}{4\cdot(-2)}\\\\\\\boxed{x~=\,-\dfrac{3}{8}}~~~\Rightarrow~Resposta\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$