Question

log na base 2 (3x+1) = 4

Answer 1

Pela definição de logaritmo  $\sf \left(\log_ba=c~\Longleftrightarrow~a=b\,^c\right)$, temos:

$\log_2(3x+1)~=~4~~ \Longleftrightarrow~~\boxed{3x+1~=~2^4}$

Vamos achar o valor de "x" que satisfaz a equação algébrica encontrada a partir da equação logarítmica dada no exercício:

$\sf 3x~+~1~=~2^4\\\\\\3x~+^1~=~16\\\\\\3x~=~16-1\\\\\\3x~=~15\\\\\\x~=~\dfrac{15}{3}\\\\\\\boxed{\sf x~=~5}$

Para que possamos afirmar que x=5 é, também, solução da equação logarítmica, precisamos verificar as condições de existência (C.E's) do logaritmo dado ( log₂(3x+1) ) quando temos x=5.

Vamos começar lembrando essas C.E's.

Seja  $\sf \log_{b}a$ , o logaritmo de base "b" e logaritmando "a" estará bem definido, ou seja, terá sua existência garantida quando respeitar as seguintes condições:

$\left\{\begin{array}{ccc}a&>&0\\b&>&0\\b&\ne&1\end{array}\right.$

log₂(3x+1) tem sua base igual a 2, assim podemos afirmar que as condições impostas à base são atendidas (2>0 e 2≠0).

Vamos verificar agora se o logaritmando também respeitas as C.E's quando temos x=5:

$\sf 3x+1~~ para~x=5:\\\\\\=~3\cdot 5+1\\\\\\=~15+1\\\\\\=~\boxed{16}~~\checkmark$

Como pudemos ver, para x=5, temos o logaritmando maior que 0 e, portanto, a condição imposta ao logaritmando é atendida.

Sendo assim, como o logaritmo está definido para x=5, podemos afirmar que x=5 é solução da equação logarítmica.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$