Question

log na base 2 (2-x) - log na base 4 (17-x)=1

Answer 1

Vc com certeza conhece esta propriedade: 

log(a) b^r = r . log(a) b 

ou seja, vc pega o expoente do logaritamando e joga ele lá na frente. 

O que mtos professores omitem, mas neste caso é extremamente útil, é uma generalização dessa propriedade: 

log[a^s] b^r = (1/s) . r . log(a) b 

Ou seja, o expoente da base deve ser jogado lá na frente, mas INVERTIDO. Note que apareceu (1/s) lá. E o expoente r, do logaritmando, também vai pra frente, mas sem inverter. 

SOLUÇÃO 
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log(2) (2 - x) - log(4) (17 - x) = 1 

C.E: 
2 - x > 0 
17 - x > 0 

log(2) (2 - x) - log[2²] (17 - x) = 1 

Aplicando a propriedade log[a^s] b^r = (1/s) . r . log(a) b 

no termo do log(2²) (17 - x), e lembrando que 1 = log(2) 2, vem: 

log(2) (2 - x) - (1/2) . log(2) (17 - x) = log(2) 2 

Agora, olha só... esse (1/2) agora tá atrapalhando. Que tal pegar e jogar ele lá em cima do (17 - x)? 

Justificativa para este procedimento: r . log(a) b = log(a) b^r 

(se vc tem um "r" enchendo o saco na frente do log, manda ele pra cima do "b") 

Continuando: 

log(2) (2 - x) - log(2) (17 - x)^(1/2) = log(2) 2 

log(2) (2 - x) - log(2) √ (17 - x) = log(2) 2 

Pela propriedade do log de uma divisão, o que temos acima simplifica para: 

log(2) [ (2 - x) / √ (17 - x) ] = log(2) 2 

Pronto. As bases são iguais, podemos igualar os logaritmandos. 

(2 - x) / √ (17 - x) = 2 

Multiplicando em cruz: 

2 - x = 2 . √ (17 - x) 

Elevando ao quadrado ambos os lados: 

(2 - x)² = 4 . (17 - x) 

4 - 4x + x² = 68 - 4x 

Cancelando os (-4x) comuns dos dois lados, sobra: 

4 + x² = 68 

x² = 68 - 4 

x² = 64 

x = 8 ou x = -8 

Precisamos checar se esses valores respeitam todas as C.E.: 

2 - x > 0 
17 - x > 0 

Se x = 8 , então a condição 2 - x > 0 não é respeitada. Portanto x = 8 não serve. 

Se x = -8 , então ambas condições são satisfeitas. Portanto x = -8 serve. 

Apenas x = - 8 é aceitável. 

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RESPOSTA: V = { - 8 }