Question

log de x na base 2 + 4 log de 8 na base x = 8

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte expressão logarítmica:

log₂ (x) + 4logₓ (8) = 8

Veja: no fator 4logₓ (8) , trocando para a base "2" ficaremos assim:

4logₓ (8) = 4log₂ (8)/log₂ (x) . Assim, iremos na expressão acima e faremos a devida substituição. Logo:

log₂ (x) + 4log₂ (8)/log₂ (x) = 8 ---- mmc = log₂ (x). Assim, utilizando-o no 1º membro da expressão, teremos (lembre-se: divide-se o mmc pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):


[log₂ (x)*log₂ (x) + 1* 4log₂ (8)]/log₂ (x) = 8 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

log₂ (x)*log₂ (x) + 4log₂ (8) = 8*log₂ (x) ---- veja que 8 = 2³. Assim:
log₂ (x)*log₂ (x) + 4log₂ (2³) = 8log₂ (x) ---- passando o expoente "3" multiplicando, teremos:

log₂ (x)*log₂ (x) + 3*4log₂ (2) = 8log₂ (x)
log₂ (x)*(log₂ (x) + 12log₂ (2) = 8log₂ (x)

Agora veja isto: log₂ (x)*log₂(x) = [log₂ (x)]²; e log₂ (2) = 1 (pois todo logaritmo cujo logaritmando é igual à base sempre é igual a "1"). Assim, fazendo essas substituições, teremos:

[log₂ (x)]² + 12*1 = 8log₂ (x) ---- ou apenas:
[log₂ (x)]² + 12 = 8log₂ (x) ----- vamos passar o 2º membro  para o 1º, ficando:
[log₂ (x)]² - 8log₂ (x) + 12 = 0 ----- vamos fazer log₂ (x) = y. Com isso, ficamos:
y² - 8y + 12 = 0 ------ se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

y' = 2
y'' = 6.

Mas lembre-se que fizemos log₂ (x) = y. Assim:

i) para y = 2, teremos:

log₂ (x) = 2 ---- aplicando a definição de logaritmo, teremos:
2² = x
4 = x ----- ou, invertendo-se:
x = 4 <--- Este é um valor válido para "x".

ii) para y = 6, teremos:

log₂ (x) = 6 ---- aplicando-se novamente a definição de logaritmo, teremos:
2⁶ = x
64 = x ----- ou, invertendo-se, teremos;
x = 64 <---- Este é outro valor válido para "x".

iii) Assim, como você pode concluir, temos que "x" poderá ser:

x = 4, ou x = 64 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {4; 64}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.