Question

Log de raiz quadrada de 4a x raiz quadrada de ab / b x raiz terceira de a^2 x b na base 2

$log_{2}\sqrt{\frac{4a\sqrt{ab} }{b\sqrt[3]{a^{2}b } } }$


Agradeço muito a ajuda. Tô quebrando a cabeça com essa questão.

O gabarito do livro que estou usando diz: 2 + $\frac{5}{12} log_{2} a$ - $\frac{5}{12} log_{2} b$
Mas quando resolvo dar um resultado diferente :/

Answer 1

Relembrando:

$\boxed{\log_k{a^n}=n\log_k{a}}$

$\boxed{\log_k{\dfrac{a}{b}}=\log_{k}{a}-\log_k{b}}$

Assim:

$\log_2{\sqrt{\dfrac{4a\sqrt{ab}}{b\sqrt[3]{a^2b}}}}=\log_2{\bigg(\dfrac{4a(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}})}{b(a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}})}\bigg)^{\tfrac{1}{2}}}=$

$=\dfrac{1}{2}\log_2{\bigg(\dfrac{4a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{4}{3}}}\bigg)}=\dfrac{1}{2}\log_2{\big(4a^{(\frac{3}{2}-\frac{2}{3})}b^{(\frac{1}{2}-\frac{4}{3})}\big)}=$

$=\dfrac{1}{2}\log_2{\big(4a^{\frac{5}{6}}b^{-\frac{5}{6}}\big)}=\dfrac{1}{2}\bigg(\log_2{4}+\log_2{a^{\frac{5}{6}}}+\log_2{b^{-\frac{5}{6}}\bigg)=$

$=\dfrac{1}{2}\bigg(2+\dfrac{5}{6}\log_2{a}-\dfrac{5}{6}\log_2{b}\bigg)=\boxed{1+\dfrac{5}{12}\log_2{a}-\dfrac{5}{12}\log_2{b}}$

Realmente, o gabarito do seu livro parece estar errado.