Question

Log de 5 na base 5√5​

Answer 1

Seja "x" o valor deste logaritmo  $\log_{_{5\sqrt{5}}}5~=~x$  ,  vamos aplicar a definição de logaritmo:

$5~=~\left(5\sqrt{5}\right)^x$

Utilizando propriedades de potencia, podemos reescrever a base 5√5​ como uma potência de expoente fracionário.

$5~=~\left(5\cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^x\\\\\\Utilizando~a~propriedade~do~\underline{produto~de~potencias~de~mesma~base}\\\\\\5~=~\left(5^{1+\frac{1}{2}}\right)^x\\\\\\5~=~\left(5^{\frac{3}{2}}\right)^x\\\\\\Utilizando~a~propriedade~da~\underline{potencia~de~potencia}:\\\\\\5~=~5^{\frac{3}{2}x}$

Chegamos em uma igualdade de potências de mesma base.

Para que a igualdade seja preservada, os expoentes devem também ser iguais, logo:

$\backslash\!\!\!5^1~=~\backslash\!\!\!5^{\frac{3}{2}x}\\\\\\1~=~\dfrac{3}{2}x\\\\\\x~=~\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\\\\\\x~=~1\cdot \dfrac{2}{3}\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{2}{3}}\\\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$