Question

log de 3 raiz de 3 na base 27?

Answer 1

Temos:

$log_{27}3\sqrt{3}$

Existem as seguintes propriedades:

$log_{a}b = x \to a^{x}=b\\ \\a^{x}.a^{y}=a^{(x+y)}\\ \\\sqrt{x}=x^{(\frac{1}{2})}\\ \\(a^{x})^{y}=a^{(x.y)}$

Sabe-se que 27 = 3³.

Com isso em mente faremos:

$log_{27}3.\sqrt{3} =x\\ \\27^{x}=3.\sqrt{3}\\ \\(3^{3})^{x}=3.3^{\frac{1}{2}}\\ \\3^{3x}=3^{(1+\frac{1}{2})}\\ \\3^{3x}=3^{\frac{3}{2}}$

Como as bases, em ambos os lados da equação, são iguais basta igualar os expoentes.

$3x=\frac{3}{2}\\ \\x=\frac{3}{2.3}\\ \\x=\frac{1}{2}=0,5$


Espero que tenha entendido.

Answer 2

$\mathsf{log_{27}~3 \sqrt{3}=x}$

A base passa para o outro lado com expoente "x".

$\mathsf{3 \sqrt{3} = 27^x}$

O raiz de 3 ficará 3 elevado a 1 / 2. Como teremos multiplicações de bases iguais, mantemos a base e somamos os expoentes.

$\mathsf{3^1.3^{ \frac{1}{2}}=(3^3)^x} \\ \\ \\ \mathsf{3^{ \frac{3}{2}}=3^{3x}} \\ \\ \\ \mathsf{ \dfrac{3}{2}=3x} \\ \\ \\ \mathsf{3=6x} \\ \\ \\ \mathsf{x= \dfrac{3}{6} }$

Simplificando a fração,

$\boxed{\mathsf{x= \dfrac{1}{2}}}$