Question

log de 1/raiz setima de 125 na base 5

Answer 1

Vamos lembrar que um radical pode ser escrito como uma potência de expoente fracionário.

$\boxed{\sqrt[b]{a^c}~=~a^{\frac{c}{a}}}$

Assim, o logaritmando pode ser reescrito como:

$\log_{\,_5}\left(\dfrac{1}{\sqrt[7]{125}}\right)~=~\log_{\,_5}\dfrac{1}{125^{\frac{1}{7}}}\\\\\\\boxed{\log_{\,_5}\left(\dfrac{1}{\sqrt[7]{125}}\right)~=~\log_{\,_5}125^{-\frac{1}{7}}}$

Chamando de "x" o valor desse logaritmo, vamos aplicar a definição:

$\log_{\,_5}125^{-\frac{1}{7}}}~=~x\\\\\\\boxed{125^{-\frac{1}{7}}~=~5^x}$

Chegamos em uma igualdade de potências.

Fatorando a base da potência à esquerda (125):

$\left(5^3\right)^{-\frac{1}{7}}~=~5^x\\\\\\Aplicando~a~propriedade~da~potencia~de~potencia\\\\\\\boxed{5^{-\frac{3}{7}}~=~5^x}$

Em uma igualdade de potências de mesma base, para que seja mantida a igualdade, os expoentes devem ser também iguais, portanto:

$\backslash\!\!\!5^{-\frac{3}{7}}~=~\backslash\!\!\!5^x\\\\\\\boxed{x~=\,-\dfrac{3}{7}}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$