Question

Log base 4 (x+10) + log base 4 (x-5) = 2
Como resolver?

Answer 1

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Resolver a equação logarítmica:

$\mathsf{\ell og_4(x+10)+\ell og_4(x-5)=2}$


•   Condição de existência:  logaritmandos devem ser sempre positivos.

Então, devemos ter

$\begin{array}{rcl} \mathsf{x+10>0}&~\textsf{ e }~&\mathsf{x-5>0}\\\\ \mathsf{x>-10}&~\textsf{ e }~&\mathsf{x>5}\\\\ &~\mathsf{x>5}~&\qquad\checkmark \end{array}$


•   Resolvendo a equação:

$\mathsf{\ell og_4(x+10)+\ell og_4(x-5)=2}\\\\ \mathsf{\ell og_4\big[(x+10)\cdot (x-5)\big]=2}\\\\ \mathsf{(x+10)\cdot (x-5)=4^2}\\\\ \mathsf{(x+10)\cdot (x-5)=16}$

$\mathsf{x^2-5x+10x-50=16}\\\\ \mathsf{x^2-5x+10x-50-16=0}\\\\ \mathsf{x^2+5x-66=0}\quad\longrightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l}\mathsf{a=1}\\\mathsf{b=5}\\\mathsf{c=-66} \end{array} \right.$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=5^2-4\cdot 1\cdot (-66)}\\\\ \mathsf{\Delta=25+264}\\\\ \mathsf{\Delta=289}\\\\ \mathsf{\Delta=17^2}$


$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-5\pm \sqrt{17^2}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-5\pm 17}{2}}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{-5+17}{2}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{-5-17}{2}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{12}{2}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{-22}{2}}\\\\ \mathsf{x=6}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-11}\quad\textsf{(n\~ao serve, pois }\mathsf{-11<5.}\textsf{)} \end{array}$


A única solução que satisfaz a condição de existência é $\mathsf{x=6.}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{6\}.}$


Bons estudos! :-)


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