Question

log base 2 (x-2)+log base2 x=3

Answer 1

Ae kraqui,

na equação logarítmica $\large\boxed{\log_2(x-2)+\log_2(x)=3}$ ,

primeiramente estabelecemos a condição para que os log acima, existam. Como as incógnitas encontram-se no logaritmando, fazemos:

$\begin{cases}x\ \textgreater \ 0~~e~~x-2\ \textgreater \ 0\\ ~~~~~~~~~~~~~x\ \textgreater \ 2\end{cases}$

Agora, sabendo-se que os logaritmos estão em uma mesma base comum, base 2, reduzimos à mesma base e aplicamos a primeira propriedade de log, a do produto:

$\log_b(a)+\log_b(c)=\log_b(a\cdot c)$

......................

$\log_2[(x-2)\cdot x]=3$

Aplicando a definição, temos que:

$\log_b(c)=a\Rightarrow b^a=c$

...........................

$x^2-2x=2^3\\ x^2-2x-8=0\\\\ \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)\\ \Delta=4+32\\ \Delta=36\\\\\\ x= \dfrac{-(-2)\pm \sqrt{36} }{2\cdot1}= \dfrac{2\pm6}{2}\begin{cases}x_1= \dfrac{2-6}{2}= \dfrac{-4}{~~2}=-2\\\\ x_2= \dfrac{2+6}{2} = \dfrac{8}{2}=4 \end{cases}$

Observe que x= -2, não à condição de existência de log, logo:

$\huge\boxed{\text{S}=\{4\}}$

Tenha ótimos estudos ;))