Question

log 5x - log 2 = log (2x-3)​

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

A primeira coisa é verificar a condição de existência do logaritmando.

Para que um logaritmo exista o logaritmando deve ser positivo, ou seja maior que 0 e a base deve ser diferente de 0 e maior que 1.

$\log_{a}(b) = c \rightarrow \begin{cases}a \neq1\: \: e \: \: a > 0 \\ b > 1\end{cases}$

Sabendo disso, vamos calcular a condição de existência de cada um dos logaritmandos, a base não vai importar nesse caso.

$\begin{cases}i) \: 5x > 0 \\ x > \frac{0}{5} \\ \blue{\boxed{x > 0}}\\ \\ ii)2x - 3 > 0 \\ 2x > 3 \\ \blue{\boxed{x > \frac{3}{2} }}\end{cases}$

Com esse resultado devemos obter um valor de x maior que 0 e maior que 3/2.

A equação logarítmica que nos é dada é expressa por:

$\bigstar \log(5x) - \log(2) = \log(2x - 3) \bigstar$

Você pode notar que antes da igualdade temos uma subtração de logaritmos, podemos fazer o inverso que é transformar em um quociente de logaritmos.

Essa é uma das propriedades de Log, que é dada por:

$\bigstar\log_{a}( \frac{b}{c} ) = \log_{a}(b) - \log_{a}(c) \bigstar$

Aplicando:

$\log(5x) - \log(2) = \log(2x - 3) \\ \\ \log( \frac{5x}{2} ) = \log(2x - 3)$

Quando temos dois logaritmos de mesma base em uma igualdade, podemos dizer que os logaritmandos são iguais, então devemos "cancelar" os Logs e resolver os logaritmandos.

$\begin{cases} \red{\cancel{\log}}_{a} A = \red{\cancel{\log}}_{a} B \\ \\A = B\end{cases}$

Aplicando:

$\frac{5x}{2} = 2x - 3$

Multiplica cruzado, ou seja, meio pelos extremos.

$5x.1 = 2.(2x - 3) \\ 5x = 4x - 6 \\ 5x - 4x = - 3 \\ \purple{\boxed{ x = - 6}}$

Com esse valor de "x" vamos analisá-lo com base na condição de existência. De acordo com os nosso cálculos, o "x" deveria ser maior que 0 e maior que 3/2, como pode notar o valor de "x" não supera nenhuma das duas condições de existência.

Então podemos dizer que o "x" não admite valores que tornem essa igualdade verdadeira, então o resultado é vazio.

$\huge \boxed{S = \{ \}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️