Question

log(3x-10) (x^2-10x+20)=1
??? me ajudem pff

Answer 1

Olá,

na equação logarítmica $\large\underbrace{\mathsf{log_{3x-10}(x^2-10x+20)=1}}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.$, devemos impor a condição para a base e para logaritmando, para que existam:

$\mathsf{C.E.}\begin{cases}\mathsf{Base}\begin{cases}\mathsf{1 \neq 3x-10\ \textgreater \ 0}\\ \mathsf{1+10 \neq 3x\ \textgreater \ 10}\\ \mathsf{11 \neq 3x\ \textgreater \ 10}\\ \mathsf{x \neq \dfrac{11}{3}~e~x\ \textgreater \ \dfrac{10}{3} }\end{cases}\\\\ \mathsf{Logaritmando}\begin{cases}\mathsf{x^2-10x+20\ \textgreater \ 0}}\end{cases}\end{cases}$

Feito isto, aplicamos a definição de logaritmos,

$\mathsf{log_b(c)=a~~\Rightarrow~~b^a=c}$

então a equação ficará assim:

$\mathsf{(3x-10)^1=x^2-10x+20}\\ \mathsf{x^2-10x+20=3x-10}\\ \mathsf{x^2-13x+30=0}\\\\ \mathsf{\Delta=(-13)^2-4\cdot1\cdot30}\\ \mathsf{\Delta=169-120}\\ \mathsf{\Delta=49}\\\\ \mathsf{x= \dfrac{-(-13)\pm \sqrt{49} }{2\cdot1}= \dfrac{13\pm7}{2} }\begin{cases}\mathsf{x_1= \dfrac{13-7}{2}= \dfrac{6}{2}=3}\\\\ \mathsf{x_2= \dfrac{13+7}{2}= \dfrac{20}{2}=10 }\end{cases}$

Observe que x=3 infringe à condição de existência, ao passo que x=10 não. Portanto escrevemos:

$\Large\boxed{\mathsf{S=\{10\}}}$

Tenha ótimos estudos ;D