Question

log 3 (x^2 − x − 5) − log3 x = 1
como resolver passo a passo?
a resposta é 5

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

=> Condição de existência:

• $\sf x^2-x-5 > 0$

$\sf \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-5)$

$\sf \Delta=1+20$

$\sf \Delta=21$

$\sf x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{22}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}$

$\sf x'=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}~\approx2,79$

$\sf x"=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}~\approx-1,79$

Assim, $\sf x < -1,79~ou~x > 2,79$

• $\sf x > 0$

A condição de existência é $\sf x > 2,79$

=> $\sf log~_{3}~(x^2-x-5)-log_{3}~x=1$

Lembre-se que:

$\sf log_{b}~a-log_{b}~c=log~\Big(\dfrac{a}{c}\Big)$

$\sf log_{3}~(x^2-x-5)-log_{3}~x=1$

$\sf log_{3}~\Big(\dfrac{x^2-x-5}{x}\Big)=1$

$\sf \dfrac{x^2-x-5}{x}=3^1$

$\sf \dfrac{x^2-x-5}{x}=3$

$\sf x^2-x-5=3x$

$\sf x^2-x-5-3x=0$

$\sf x^2-4x-5=0$

$\sf \Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)$

$\sf \Delta=16+20$

$\sf \Delta=36$

$\sf x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}=\dfrac{4\pm6}{2}$

$\sf x'=\dfrac{4+6}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{10}{2}~\Rightarrow~\red{x'=5}$

$\sf x"=\dfrac{4-6}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~\red{x"=-1}$ (não serve)

Logo, x = 5. O conjunto solução é S = {5}