Question

log 3 ( x+2) - log 1/3 ( x-6) = log 3 ( 2x-5)???

Answer 1

Olá, creio que o que está fora dos parênteses seja a base né?

$log_{3}^{(x+2)} - log_{ \frac{1}{3}}^{(x-6)} = log_{3}^{(2x-5)} \\ \\ log_{3}^{(x+2)} - [ \frac{log_{ 3}^{(x-6)}}{log_{ 3}^{\frac{1}{3}}} ] = log_{3}^{(2x-5)} \\ \\ log_{3}^{(x+2)} - [ \frac{log_{ 3}^{(x-6)}}{log_{ 3}^{3^{-1}}} ] = log_{3}^{(2x-5)} \\ \\ log_{3}^{(x+2)} - [ \frac{log_{ 3}^{(x-6)}}{-1.log_{ 3}^{3}} ] = log_{3}^{(2x-5)} \\ \\ log_{3}^{(x+2)} - [ \frac{log_{ 3}^{(x-6)}}{-1} ] = log_{3}^{(2x-5)}$

$log_{3}^{(x+2)} + log_{ 3}^{(x-6)} = log_{3}^{(2x-5)} \\ \\ log_{3}^{(x+2)(x-6)} = log_{3}^{(2x-5)} \\ \\ (x+2)(x-6) = (2x-5) \\ \\ x^{2}-6x+2x-12 = 2x-5 \\ \\ x^{2}-6x-2x+2x-12+5 = 0 \\ \\ x^{2}-6x-7 = 0$

Δ = (-6)²-4.1.(-7)
Δ = 36 + 28 = 64

$x = \frac{6 +- \sqrt{64} }{2} = \frac{6 +- 8 }{2} \\ \\ x1 = \frac{6 +8 }{2} = \frac{14 }{2} = 7 \\ \\ x2 = \frac{6 -8 }{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Pelas condições de existência o log deve ser um valor positivo. Se substituirmos x = -1 teremos:

$log_{3}^{(-1+2)} - log_{ \frac{1}{3}}^{(-1-6)} = log_{3}^{(2.(-1)-5)} \\ \\ log_{3}^{(1)} - log_{ \frac{1}{3}}^{(-7)} = log_{3}^{(-7)}$

Logo, x = -1 não satisfaz a equação.

Trocando x = 7

$log_{3}^{(7+2)} - log_{ \frac{1}{3}}^{(7-6)} = log_{3}^{(2.(7)-5)} \\ \\ log_{3}^{(9)} - log_{ \frac{1}{3}}^{(1)} = log_{3}^{(9)}$

Portanto, o valor que satisfaz a equação é x = 7