Question

Log 256( log 2x-6 (9)+log2x-6 (4)=2^-3

Answer 1

Vamos lá.

Jpcg, como você já informou que o "256" e o "2x-6" são as bases, então vamos tentar resolver a sua questão.
Tem-se a seguinte expressão logarítmica:

log₂₅₆.[log₂ₓ₋₆ (9) + log₂ₓ₋₆ (4)] = 2⁻³ ----- veja que 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Assim:
log₂₅₆.[log₂ₓ₋₆ (9) + log₂ₓ₋₆ (4)] = 1/8 ----- vamos aplicar a definição de logaritmo. Assim, teremos isto:

256¹/⁸ = log₂ₓ₋₆ (9) + log₂ₓ₋₆ (4)       . (I)

Antes vamos às condições de existência da base "2x-6". Como você já deve saber, toda base de logaritmos terá que ser positiva (>0) e, além disso, terá também que ser diferente de "1". Assim, para a base "2x-6" deveremos impor isto: 

2x-6 > 0
2x > 6
2x > 6/2
2x > 3
e
2x-6 ≠ 1
2x ≠ 1+6
2x ≠ 7
x ≠ 7/2 ----(note que 7/2 = 3,5). Assim, já vimos que "x", pra poder atender às condições de existência da expressão dada, terá que ser maior do que "3" e terá que ser, também, diferente de "3,5".

Bem, como já vimos quais são as condições de existência, vamos trabalhar com a expressão (I) que deixamos aí em cima, e que é esta:

256¹/⁸ = log₂ₓ₋₆ (9) + log₂ₓ₋₆ (4) ---- como as bases são as mesmas, então vamos transformar a soma em produto, com o que ficaremos;

256¹/⁸ = log₂ₓ₋₆ (9*4)
256¹/⁸ = log₂ₓ₋₆ (36) ---- agora note que 256¹/⁸ = ⁸√(256) = 2 (pois 2⁸ = 256). Assim:

2 =  log₂ₓ₋₉ (36) ---- vamos apenas inverter, ficando:
log₂ₓ₋₆ (36) = 2 ---- aplicando novamente a definição de logaritmo, teremos:

(2x-6)² = 36 ------ desenvolvendo o quadrado ficaremos com:
4x²-24x+36 = 36 ---- passando "36" para o 1º membro, teremos:
4x² - 24x + 36 - 36 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes:
4x² - 24x  = 0 --- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos assim:

x² - 6x = 0 ---- vamos pôr "x" em evidência, com o que ficaremos;
x*(x-6) = 0 ----note: temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Assim, teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ----> x' = 0 <--- raiz inválida,pois não atende à condição de existência.

ou
x-6 = 0 ---> x'' = 6 <--- Resposta válida, pois atendeu à condição de existência.

Assim, como você viu, a única resposta válida será:

x = 6 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.