Question

log 2 = 0,30 e log 3=0,47  CALCULE:

a)log8 ; b)log6 ; c)log24 

Por favor me ajudem, estou revisando a matéria q não estudo há 4 anos.

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se: dados que log(2) = 0,30 e log(3) = 0,47, calcule o valor dos seguintes logaritmos, que vamos chamar, cada um, de um certo "x" apenas para deixá-los igualados a alguma coisa.

a) x = log(8) ----- veja que 8 = 2³. Assim, teremos:

x = log(2³) ----- passando o expoente multiplicando, teremos:
x = 3*log(2) ----- como log(2) = 0,30, teremos;
x = 3*0,30
x = 0,90 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) x = log(6) ----- note que 6 = 2*3. Assim:

x = log(2*3) ---- vamos transformar o produto em soma, ficando:
x = log(2) + log(3) ---- substituindo-se log(2) por 0,30 e log(3) por 0,47, temos:
x = 0,30 + 0,47
x = 0,77 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) x = log(24) ----- veja que 24 = 2³ * 3. Assim, ficaremos:
x = log(2³ * 3) ---- vamos transformar o produto em soma, ficando:
x = log(2³) + log(3) ---- vamos passar o expoente multiplicando, ficando:
x = 3*log(2) + log(3) ---- substituindo-se log(2) por 0,30 e log(3) por 0,47, temos:

x = 3*0,30 + 0,47
x = 0,90 + 0,47
x = 1,37 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

E, como você acrescentou mais uma questão nos comentários(embora não a tenha colocado "oficialmente" no enunciado), então vamos responder também a essa questão acrescentada, que é dar o valor da seguinte expressão,  que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = log₅ (125) - log₄ (32) - log₄ (1/16) ----- veja que poderemos reescrever esta expressão da seguinte forma, o que dá no mesmo:

y = log₅ (125) - [log₄ (32) + log₄ (1/16)]

Veja: a expressão que está dentro dos colchetes, por ser constituída pela soma de logaritmos que têm a mesma base "4", poderá ser transformada em produto, ficando da seguinte forma:

y = log₅ (125) - [log₄ (32*1/16)] ---- desenvolvendo, teremos;
y = log₅ (125) - [log₄ (32/16)] ----- veja que 32/16 = 2. Assim:
y = log₅ (125) - [log₄ (2)]

Agora vamos resolver cada logaritmo de forma separada e depois levaremos os respectivos valores para a expressão "y" acima. Assim, teremos:

log₅ (125) = x ----- aplicando a definição de logaritmo, teremos:
5ˣ = 125 ----- note que 125 = 5³. Assim:
5ˣ = 5³ ----- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:
x = 3 <--- Este é o valor de log₅ (125)
e
log₄ (2) = x ----- aplicando a definição de logaritmo, teremos:
4ˣ = 2 ------ note que 4 = 2² e o "2", que está sem expoente, é considerado "2¹". Assim:
(2²)ˣ = 2¹
2²ˣ = 2¹ ------ como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:
2x = 1
x = 1/2 <---- Este é o valor de log₄ (2)

Agora vamos levar cada valor acima encontrado para a nossa expressão "y", que é sta:

y = log₅ (125) - log₄ (2) ----- fazendo as devidas substituições, teremos;
y = 3 - 1/2 ----- mmc = 2. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

y = (2*3 - 1*1)/2
y = (6 - 1)/2
y = (5)/2 ----- ou apenas:
y = 5/2 <--- Esta é a resposta para a questão extra colocada por você nos comentários.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.