Question

|log (1-x) na base 3| > 1

Answer 1

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Resolver a inequação modular:

$\mathsf{\big|\ell og_3\,(1-x)\big|>1\qquad\quad(i)}$


•   Primeiro, vamos às condições de existência para esta equação:

Os logaritmandos devem ser positivos. Portanto, devemos ter

$\mathsf{1-x>0}\\\\ \mathsf{x<1\qquad\quad(ii)}$


•   Resolvendo a inequação:

$\mathsf{\big|\ell og_3\,(1-x)\big|>1}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{\ell og_3\,(1-x)<-1}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{\ell og_3\,(1-x)>1}\\\\ \mathsf{\ell og_3\,(1-x)<\ell og_3(3^{-1})}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{\ell og_3\,(1-x)>\ell og_3(3^1)}\\\\ \mathsf{\ell og_3\,(1-x)<\ell og_3\,\dfrac{1}{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{\ell og_3\,(1-x)>\ell og_3\,3} \end{array}$


Como a base dos logaritmos é 3, que é maior que 1, o sentido da desigualdade se mantém para os logaritmandos:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{1-x<\dfrac{1}{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{1-x>3}\\\\ \mathsf{1-\dfrac{1}{3}<x}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{1-3>x}\\\\ \mathsf{\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}<x}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{-2>x}\\\\ \mathsf{x>\dfrac{2}{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x<-2} \end{array}$

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Porém, levando em conta a condição de existência da equação, a solução deve ser

$\mathsf{x<-2~~ou~~\dfrac{2}{3}<x<1}$


Conjunto solução:  $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~x<-2~~ou~~\frac{2}{3}<x<1 \right\}}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{S=\left]-\infty,\,-2\right[\;\cup\;\left]\frac{2}{3},\,1\right[.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  inequação modular logarítmica condição de existência solução resolver álgebra