Question

log [1/2](x^2+4x-5)>=-4 S={x€R|-7 <=x<=-5 ou 1

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte inequação logarítmica;

log₁/₂ (x²+4x-5) ≥ - 4

Antes, vamos impor que o logaritmando terá que ser, NECESSARIAMENTE, maior do que zero (pois só existem logaritmos de números maiores do que zero). Assim, deveremos ter que:

x² + 4x - 5 > 0 ----- veja que as raízes dessa equação são:

x' = - 5
x'' = 1.

Veja: para que esta equação seja MAIOR do que zero, então os valores de "x" terão que estar extrarraízes (fora das raízes). Ou seja, teríamos que:

x² + 4x - 5... ++++++++(-5) - - - - - - - - - (1) +++++++++++++

Ou seja, para que a função "x²+4x-5" seja positiva (maior do que zero), então "x" terá que ser:

x < -5 ou x > 1 ------ Esta é primeira condição de existência.


Bem, como já vimos qual seria a primeira condição de existência, então, agora, vamos ao desenvolvimento da nossa inequação logarítmica da sua questão, que é esta:

log₁/₂ (x²+4x-5) ≥ - 4

Note que o "-4" que está no segundo membro, poderá ser substituído por:
log₁/₂ (1/2)⁻⁴ ----- pois isto dá exatamente igual a "-4".
Então vamos fazer as devidas substituições, ficando assim:

log₁/₂ (x²+4x-5) ≥  log₁/₂ (1/2)⁻⁴

Agora veja: como as bases são iguais, então poderemos comparar os logaritmandos. E, considerando que as bases são menores que "1", então, na comparação dos logaritmandos, nós o faremos com o sinal contrário ao sinal da inequação (se a inequação tem sinal de ≥, então ele mudará para ≤, apenas por causa de a base ser menor do que "1"). Então faremos a comparação da seguinte forma:

x² + 4x - 5 ≤ (1/2)⁻⁴ ----- veja que (1/2)⁻⁴ = 1/(1/2)⁴ = 1/(1/16) = 16 . Assim, teremos:

x² + 4x - 5 ≤ 16 ---- passando "16" para o 1º membro, teremos:
x² + 4x - 5 - 16 ≤ 0  ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² + 4x - 21 ≤ 0

Agora veja: queremos que a função acima seja MENOR ou IGUAL a zero.

Então vamos encontrar quais são as raízes da função: x²+4x-21 = 0. Depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais.
Assim, aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = - 7
x'' = 3

Agora, como queremos que a função acima seja MENOR ou igual a zero, então teremos isto:

x² + 4x - 21 ≤ 0 ... ++++++++ (-7) - - - - - - - - - (3) ++++++++++++

Agora veja: como queremos que a função seja negativa, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no gráfico acima. Assim, deveremos ter que:

-7 ≤ x ≤ 3 ----- Esta é a segunda condição de existência.

Finalmente, agora, vamos colocar as duas condições de existência, uma ao lado da outra, e vamos marcar o que vale para cada uma das condições de existência com o símbolo /////////. 
A resposta vai ser a intersecção entre as duas condições de existência e marcaremos com o símbolo ||||||||||| .

Assim, teremos:

- o que vale para a 1ª condição:...../ /  / / / / / /  (-5○)_____(1○) / / / / / / /
- o que vale para a 2ª condição:....  (-7●) / / / / / / / / / / / / / / / / / / /  (3●) ____
- intersecção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (-7●)| | |  | | (-5○)____(1○) | | | | | (3●) ____

Note que: colocamos uma "bola" branca (vazada) após o número, significando que esse número NÃO entra; e colocamos uma "bola" preta (cheia) após o número, significando que esse número deve entrar.

Assim, como você poderá ver, teremos que a resposta será (ou seja, o domínio da inequação original):

- 7 ≤ x < -5, ou 1 < x ≤ 3 ------ Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (ou o domínio da inequação original) da seguinte forma, o que significa a mesma coisa:x ∈ 

S = {x ∈ R | - 7 ≤ x < -5, ou 1 < x ≤ 3}

Ou, também se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução do seguinte modo, o que quer dizer o mesmo:

S = [-7; -5) U (1; 3]


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.