Question

log 0,2 na base 125
não estou encontrando os resultados compatíveis

Answer 1

Não usarei a definição, embora pudesse (Vou deixar para o Weyland usar, se quiser)

Propriedades usadas:

$\boxed{\boxed{(i):~log_{b}(a^{n})=n\cdot log_{b}(a)}}\\\\\\\boxed{\boxed{(ii):~log_{(b^{n})}(a)=\frac{1}{n}\cdot log_{b}(a)}}\\\\\\\boxed{\boxed{(iii): log_{x}(x)=1~~para~todo~x~positivo~diferente~de~1}}$

A propriedade (ii) vem da mudança de base:

$log_{(b^{n})}(a)=\dfrac{log_{b}(a)}{log_{b}(b^{n})}=\dfrac{log_{b}(a)}{n\cdot log_{b}(b)}=\dfrac{log_{b}(a)}{n\cdot1}=\dfrac{1}{n}log_{b}(a)$
_____________________________

$log_{125}(0,2)$

Note que:

$0,2=\dfrac{2}{10}=\dfrac{2\div2}{10\div2}=\dfrac{1}{5}=5^{-1}$   e

$125=25\cdot5=5^{2}\cdot5=5^{3}$

Portanto:

$log_{125}(0,2)=log_{(5^{3})}(5^{-1})$

Pela primeira propriedade, temos:

$log_{125}(0,2)=(-1)log_{(5^{3})}(5)$

Pela segunda propriedade:

$log_{125}(0,2)=(-1)\dfrac{1}{3}log_{5}(5)\\\\\\log_{125}(0,2)=-\dfrac{1}{3}log_{5}(5)$

Pela terceira propriedade:

$log_{125}(0,2)=-\dfrac{1}{3}\cdot1\\\\\\\boxed{\boxed{log_{125}(0,2)=-\dfrac{1}{3}}}$