Question

Localize no plano cartesiano os vértices A(4,4) B(9,4) C(9,-4)
D(4,-4) do quadrilátero ABCD. A seguir responda ás perguntas.
a) Qual é a área desse quadrilátero?
b) Qual o seu perímetro?
c) Qual é a medida de sua diagonal?
me ajudem por favor!!!

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

• Item a) •

Para calcular a área desse quadrilátero, vamos usar o mesmo princípio que usamos para calcular a área de um triângulo a partir dos vértices, onde calculamos o DETERMINANTE e jogamos na fórmula da área, só que como é um quadrilátero teremos dois triângulos e consequentemente dois DETERMINANTES, um para ABC e outro para ACD.

As estruturas dos determinante serão:

I) ABC

$\begin{bmatrix}xa&ya&1 \\ xb&yb&1 \\ xc& yc&1\end{bmatrix}$

II) ACD

$\begin{bmatrix}xa&ya&1 \\ xc& yc& 1 \\ xd&yd&1\end{bmatrix}$

Sabendo das estruturas vamos começar o cálculo dos mesmos:

I) Determinante ABC:

$\begin{bmatrix}4&4&1 \\ 9&4&1 \\ 9& - 4&1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}4&4\\ 9&4 \\ 9& - 4\end{bmatrix} \\ \\ D_{abc} = 4.4.1 + 4.1.9 + 1.9.( - 4) - (9.4.1 + ( - 4).1.4 + 1.9.4) \\ D_{abc} = 16 + 36 - 36 - (36 - 16 + 36) \\ D_{abc} = 16 - (56) \\ \boxed{D_{abc} = - 40}$

II) Determinante ACD:

$\begin{bmatrix}4&4&1 \\ 9& - 4&1 \\ 4& - 4&1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}4&4 \\ 9& - 4 \\ 4& - 4\end{bmatrix} \\ \\ D_{acd} = 4. ( - 4).1 + 4.4.1 + 1.9.( - 4) - (4. ( - 4).1 + ( - 4).1.4 + 1.9.4) \\ D_{acd} = -16 + 16 - 36 - ( - 16 - 16 + 36) \\ D_{acd} = - 36 - (32 + 36) \\ D_{acd} = - 36 - (4) \\ \boxed{D_{acd} = - 40}$

Substituindo na fórmula:

$A = \frac{1}{2}.( | D_{abc} | + | D_{acd} | ) \\ \\ A = \frac{1}{2} .( | - 40| + | - 40| ) \\ \\ A = \frac{1}{2}.(40 + 40 ) \\ \\ A = \frac{1}{2} .(80) \\ \\ A = \frac{80}{2} \\ \\ \boxed{A = 40 \: u.c}$

Outra forma:

I) Diagonal Principal:

$\begin{bmatrix}4&4 \\ 9&4 \\ 9& - 4 \\ 4& - 4 \\ 4&4\end{bmatrix} \\ \\</p><p></p><p>D_{p} = 4.4 + 9.(-4) + 9.(-4) + 4.4\\</p><p>D_{p} = 16 -36 - 36 + 16\\</p><p>D_{p} = -72+30\\</p><p>\boxed{D_{p} = -40}$

Agora você multiplica os elementos da "diagonal secundária".

II) Diagonal Secundária:

$\begin{bmatrix}4&4 \\ 9&4 \\ 9& - 4 \\ 4& - 4 \\ 4&4\end{bmatrix} \\ \\</p><p></p><p>D_{s} = 9.4 + 9.4 + 4.(-4) + 4.(-4)\\</p><p>D_{s} = 36 + 36 - 16 - 16\\</p><p>D_{s} = 72 -32\\</p><p>D_{s} = 40$

$A = \frac{1}{2}.( | D_{p} | + | D_{s} | ) \\ \\ A = \frac{1}{2} .( | - 40| + | 40| ) \\ \\ A = \frac{1}{2}.(40 + 40 ) \\ \\ A = \frac{1}{2} .(80) \\ \\ A = \frac{80}{2} \\ \\ \boxed{A = 40 \: u.c}$

Letra a) Concluída ↑.

• Item b) •

Para calcular o perímetro, teremos que calcular a distância entre os 4 pontos e depois somar elas 4.

I) Distância AB:

$\begin{cases}A(4,4) \rightarrow xa = 4 \: \: \: \: ya = 4 \\ B(9,4) \rightarrow xb = 9 \: \: \: \: yb = 4 \end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$D_{ab} = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (yb - ya) {}^{2} } \\ D_{ab} = \sqrt{(9 - 4) + (4 - 4) {}^{2} } \\ D_{ab} = \sqrt{(5) {}^{2} + (0) {}^{2} } \\ D_{ab} = \sqrt{25} \\ \boxed{D_{ab} = 5 \: \: u.c}$

II) Distância BC:

$\begin{cases}B(9,4) \rightarrow xb = 9 \: \: \: \: yb = 4 \\ C(9,-4) \rightarrow xc = 9 \: \: \: \: yc = - 4\end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$D_{bc} = \sqrt{(xc - xb) {}^{2} + (yc - yb) {}^{2} } \\ D_{bc} = \sqrt{(9 - 9) {}^{2} + ( - 4 - 4) {}^{2} } \\ D_{bc} = \sqrt{(0) {}^{2} + ( - 8) {}^{2} } \\ D_{bc} = \sqrt{64} \\ \boxed{ D_{bc} = 8 \: \: u.c}$

III) Distância CD:

$\begin{cases} C(9,-4) \rightarrow xc = 9 \: \: \: \: yc = - 4 \\ </p><p>D(4,-4) \rightarrow xd = 4 \: \: \: \: yd = - 4 \end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$D_{cd} = \sqrt{(xd - xc) {}^{2} + (yd - yc) {}^{2} } \\ D_{cd} = \sqrt{(4 - 9) {}^{2} + ( - 4 - ( - 4) {}^{2} } \\ D_{cd} = \sqrt{( - 5) {}^{2} + ( - 4 + 4) {}^{2} } \\ D_{cd} = \sqrt{25} \\ \boxed{ D_{cd} = 5 \: \: u.c}$

IV) Distância AD:

$\begin{cases}A(4,4) \rightarrow xa = 4 \: \: \: \: ya = 4 \\ </p><p>D(4,-4) \rightarrow xd = 4 \: \: \: \: yd = - 4\end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$D_{ad} = \sqrt{(xd - xa) {}^{2} + (yd - ya) {}^{2} } \\ D_{ad} = \sqrt{(4 - 4) {}^{2} + ( - 4 - 4) {}^{2} } \\ D_{ad} = \sqrt{(0) {}^{2} + ( - 8) {}^{2} } \\ D_{ad} = \sqrt{64} \\ \boxed{ D_{ad} = 8 \: \: u.c}$

Para finalizar o item b) devemos somar todas as distâncias, pois elas simbolizam os valores dos lados.

$2p = 8 + 8 + 5 + 5 \\ \boxed{ 2p = 26 \: u.c}$

(Obs: 2P → símbolo de perímetro).

item b) Concluído ↑

• Item c) •

Para calcular as diagonais, teremos que calcular a distância de AC e BD:

Diagonal I):

$\begin{cases}A(4,4) \rightarrow xa = 4 \: \: \: \: ya = 4 \\ C(9,-4) \rightarrow xc = 9 \: \: \: yc = - 4\end{cases}$

Substituindo:

$D_{ac} = \sqrt{(xc - xa) {}^{2} + (yc - ya) {}^{2} } \\ D_{ac} = \sqrt{(9 - 4) + ( - 4 - 4) {}^{2} } \\ D_{ac} = \sqrt{( 5) {}^{2} + ( - 8) {}^{2} } \\ D_{ac} = \sqrt{25 + 64} \\ \boxed{D_{ac} = \sqrt{89} }$

I) Diagonal 2:

$\begin{cases}B(9,4) \rightarrow \: xb = 9 \: \: \: \: yb = 4 \\ </p><p>D(4,-4) \rightarrow xd = 4 \: \: \: \: yd = - 4\end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$D_{bd} = \sqrt{(xd - xb) {}^{2} + (yd - yb) {}^{2} } \\ D_{bd} = \sqrt{(4 - 9) {}^{2} + ( - 4 - 4) {}^{2} } \\ D_{bd} = \sqrt{( - 5) {}^{2} + ( - 8) {}^{2} } \\ D_{bd} = \sqrt{25 + 64} \\ \boxed{ D_{bd} = \sqrt{89} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️