Question

Localiza no plano cartesiano os vertices A (3.3) B ( 9.3) C (9.-4) D(3.-3)do quadrilatero ABCDa) qual e a área desse quadrilátero ?b)Qual e seu perímetro

Answer 1

Nesse quadrilátero dado pelos pontos ABCD, é necessário traçar uma diagonal bem no meio. Fazendo isso, surgem dois triângulos, e a soma das áreas desses dois triângulos será a área do quadrilátero (em módulo, pois não existe área negativa). E a área de cada triângulo é dada pelo determinante da matriz gerada a partir das coordenadas dos vértices desses triângulos:

$A= \frac{|D_{1}+D_{2}|}{2}$

Matriz do primeiro triângulo:

$D_{1}=\left[\begin{array}{ccc}3&3&1\\9&3&1\\3&-3&1\end{array}\right]=$

$9+9-27-(27+9-9)=$

$9+9-27-27-9+9=$

$-36$

Matriz do segundo triângulo:

$D_{2}=\left[\begin{array}{ccc}9&3&1\\9&-4&1\\3&-3&1\end{array}\right]=$

$9-36-27-(27-12-27)=$

$9-36-27-27+12+27=$

$-42$

Substituindo na fórmula:

$A=\frac{|D_{1}+D_{2}|}{2}$

$A=\frac{|-36+(-42)|}{2}$

$A=\frac{|-36-42)|}{2}$

$A=\frac{|-78|}{2}$

$A=\frac{78}{2}$

$A=39$

O perímetro é a soma das distâncias entre os pontos AB+BC+CD+DA.

AB -

$d_{AB}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} \\ \\ d_{AB}=\sqrt{(9-3)^{2}+(3-3)^{2}} \\ \\ d_{AB}=\sqrt{6^{2}+0^{2}} \\ \\ d_{AB}=\sqrt{36} \\ \\ d_{AB}=6$

BC -

$d_{BC}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} \\ \\ d_{BC}=\sqrt{(9-9)^{2}+(-4-3)^{2}} \\ \\ d_{BC}=\sqrt{0^{2}+(-7)^{2}} \\ \\ d_{BC}=\sqrt{0^{2}+49} \\ \\d_{BC}=\sqrt{49} \\ \\ d_{BC}=7$

CD - 

$d_{CD}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} \\ \\ d_{CD}=\sqrt{(3-9)^{2}+(-3-(-4))^{2}} \\ \\ d_{CD}=\sqrt{(-6)^{2}+1^{2}} \\ \\ d_{CD}=\sqrt{36+1} \\ \\ d_{CD}=\sqrt{37} \\ \\ d_{CD}=6,08276253029822$

DA - 

$d_{DA}=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} \\ \\ d_{DA}=\sqrt{(3-3)^{2}+(3-(-3))^{2}} \\ \\d_{DA}=\sqrt{0^{2}+6^{2}} \\ \\ d_{DA}=\sqrt{36} \\ \\ d_{DA}=6$

Logo, seu perímetro é:

$6 + 7 + 6,08276253029822 + 6=25,08276253029822$